Dla jakich a wyrażenie jest liczbą całkowitą.

[squared]

Dla jakich liczb \(\displaystyle{ a \in C}\) wyrażenie \(\displaystyle{ \frac{a^{3}-2a^{2}+3}{a^{2}-2a}}\) jest liczbą całkowitą.

Jak to ugryźć ? Najpierw oczywiście odprowadziłem do do prostszej postaci tzn. \(\displaystyle{ \frac{a^{3}-2a^{2}+3}{a^{2}-2a}= \frac{(a+1)(a^{2}-3a+3)}{a(a+2)}}\).

I jeszcze założenia: \(\displaystyle{ a \neq 0 \wedge a \neq 2}\).

Może wtedy gdzy licznik lub mianownik będzie zerem oraz kiedy mianownik będzie jedynką lub minus jedynką. Jednak jeszcze mogę być inne bardziej skompikowane przypadki.

\(\displaystyle{ (a+1)(a^{2}-3a+3)=0 \Leftrightarrow a=-1 \\
a(a+2)=1 \vee a(a+2)=-1 \Leftrightarrow a=-1}\)

Jak to wyliczyć i jak to zapisać wszystko ?

[Tmkk]

Myślę, że najłatwiej byłoby rozbić na 2 ułamki.

[squared]

Tzn.? Co masz konkretnie na myśli? To?:
\(\displaystyle{ \frac{a^{3}-2a^{2}+3}{a^{2}-2a}= \frac{(a+1)(a^{2}-3a+3)}{a(a+2)}= \frac{a^{3}}{2(a+2)}+ \frac{-2a^{2}}{a(a+2)}+ \frac{3}{a(a+2)}= \frac{a^{2}}{a+2}- \frac{a}{a+2}+ \frac{3}{a(a+2)}}\).

I co dalej.
Wydaje mi się, że pownieniem sprawdzać kolejno ułamki, dla jakiego a będą liczbami całkowitymi. I jeśli dla jakieś ułamka istnieje takie a, to sprawdzać potem dalej czy przy takim a, kolejne ułamki także staną się liczbami całkowitymi?

[Tmkk]

Nie, bez przesady. Chodziło mi o to:

\(\displaystyle{ \frac{a^{3}-2a^{2}+3}{a^{2}-2a} = \frac{a^3 - 2a^2}{a^{2}-2a} + \frac{3}{a^{2}-2a}}\)

Pierwszy ułamek się ładnie upraszcza a nad drugim trzeba pomyśleć.

[opti]

W drugim ułamku mamy liczbę całkowitą dzieloną przez coś... Kiedy dzielenie liczby całkowitej przez coś daje nam liczbę całkowitą?

[Tmkk]

Kiedy dzielisz przez jeden z jej dzielników lub przez liczbę przeciwną do dzielnika.