Dla jakich liczb \(\displaystyle{ a \in C}\) wyrażenie \(\displaystyle{ \frac{a^{3}-2a^{2}+3}{a^{2}-2a}}\) jest liczbą całkowitą.
Jak to ugryźć ? Najpierw oczywiście odprowadziłem do do prostszej postaci tzn. \(\displaystyle{ \frac{a^{3}-2a^{2}+3}{a^{2}-2a}= \frac{(a+1)(a^{2}-3a+3)}{a(a+2)}}\).
I jeszcze założenia: \(\displaystyle{ a \neq 0 \wedge a \neq 2}\).
Może wtedy gdzy licznik lub mianownik będzie zerem oraz kiedy mianownik będzie jedynką lub minus jedynką. Jednak jeszcze mogę być inne bardziej skompikowane przypadki.
\(\displaystyle{ (a+1)(a^{2}-3a+3)=0 \Leftrightarrow a=-1 \\
a(a+2)=1 \vee a(a+2)=-1 \Leftrightarrow a=-1}\)
Jak to wyliczyć i jak to zapisać wszystko ?
Dla jakich a wyrażenie jest liczbą całkowitą.
-
- Użytkownik
- Posty: 1017
- Rejestracja: 21 mar 2009, o 11:11
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 167 razy
- Pomógł: 152 razy
Dla jakich a wyrażenie jest liczbą całkowitą.
Tzn.? Co masz konkretnie na myśli? To?:
\(\displaystyle{ \frac{a^{3}-2a^{2}+3}{a^{2}-2a}= \frac{(a+1)(a^{2}-3a+3)}{a(a+2)}= \frac{a^{3}}{2(a+2)}+ \frac{-2a^{2}}{a(a+2)}+ \frac{3}{a(a+2)}= \frac{a^{2}}{a+2}- \frac{a}{a+2}+ \frac{3}{a(a+2)}}\).
I co dalej.
Wydaje mi się, że pownieniem sprawdzać kolejno ułamki, dla jakiego a będą liczbami całkowitymi. I jeśli dla jakieś ułamka istnieje takie a, to sprawdzać potem dalej czy przy takim a, kolejne ułamki także staną się liczbami całkowitymi?
\(\displaystyle{ \frac{a^{3}-2a^{2}+3}{a^{2}-2a}= \frac{(a+1)(a^{2}-3a+3)}{a(a+2)}= \frac{a^{3}}{2(a+2)}+ \frac{-2a^{2}}{a(a+2)}+ \frac{3}{a(a+2)}= \frac{a^{2}}{a+2}- \frac{a}{a+2}+ \frac{3}{a(a+2)}}\).
I co dalej.
Wydaje mi się, że pownieniem sprawdzać kolejno ułamki, dla jakiego a będą liczbami całkowitymi. I jeśli dla jakieś ułamka istnieje takie a, to sprawdzać potem dalej czy przy takim a, kolejne ułamki także staną się liczbami całkowitymi?
-
- Użytkownik
- Posty: 1718
- Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrołęka
- Podziękował: 59 razy
- Pomógł: 501 razy
Dla jakich a wyrażenie jest liczbą całkowitą.
Nie, bez przesady. Chodziło mi o to:
\(\displaystyle{ \frac{a^{3}-2a^{2}+3}{a^{2}-2a} = \frac{a^3 - 2a^2}{a^{2}-2a} + \frac{3}{a^{2}-2a}}\)
Pierwszy ułamek się ładnie upraszcza a nad drugim trzeba pomyśleć.
\(\displaystyle{ \frac{a^{3}-2a^{2}+3}{a^{2}-2a} = \frac{a^3 - 2a^2}{a^{2}-2a} + \frac{3}{a^{2}-2a}}\)
Pierwszy ułamek się ładnie upraszcza a nad drugim trzeba pomyśleć.
-
- Użytkownik
- Posty: 323
- Rejestracja: 29 lis 2009, o 17:23
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wawa
- Podziękował: 53 razy
- Pomógł: 46 razy
Dla jakich a wyrażenie jest liczbą całkowitą.
W drugim ułamku mamy liczbę całkowitą dzieloną przez coś... Kiedy dzielenie liczby całkowitej przez coś daje nam liczbę całkowitą?