równanie z parametrem - wyznaczanie liczby rozwiązań

[nicky007]

Witam,
mógłby mi ktoś pomóc w rozwiązaniu tego zadania? Muszę wyznaczyć liczbę rozwiązań równości w zależności od rzeczywistego parametru m:
\(\displaystyle{ x^{4} - mx^{3} + 2m = 0}\)
wiedząc, że \(\displaystyle{ x>0 , x \neq 0}\) oraz \(\displaystyle{ m(x^{3}-2) > 0}\).

Ma ktoś jakiś pomysł?

Z góry dzięki -- 31 mar 2012, o 20:19 --Nie mogę już przeedytować swojego wcześniejszego posta, więc piszę kolejny.

Chodziło mi o to, że \(\displaystyle{ x>0, x \neq 1}\).

Rysowałam sobie wykres w programie, wpisując różne m i wyszło mi, że odpowiedź powinna być taka:
\(\displaystyle{ m<0}\) jest 1 rozwiązanie,
\(\displaystyle{ 0<m< \frac{8}{3}}\) nie ma rozwiązań,
\(\displaystyle{ m= \frac{8}{3}}\) jest 1 rozwiązanie,
\(\displaystyle{ m> \frac{8}{3}}\) są dwa rozwiązania.

To tyle jeśli chodzi o odpowiedzi - bo wydaje mi się, że są dobre, ale jak powinno przebiec rozwiązanie tego zad? Próbowałam z pochodnymi i rozwiązaniami równań czwartego stopnia, ale nic mi nie wychodziło.

[ola2502]

A jakby zrobić równie kwadratowe przez podstawienie
\(\displaystyle{ x ^{2}=t}\)
wtedy masz \(\displaystyle{ t ^{2} -mt+2m=0}\)
i rozpatrywać deltę kiedy jest większa, mniejsza i kiedy równa.

[Ponewor]

@up tam masz \(\displaystyle{ x^{3}}\), a nie \(\displaystyle{ x^{2}}\), więc pomysł z podstawieniem nietrafiony.

[Mariusz M]

Ponewor, to równanie da się rozłożyć na czynniki kwadratowe
trochę z tym roboty ale da się wtedy byłoby łatwiej

Przekształcamy wielomian do postaci różnicy kwadratów
a następnie korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów

Aby przekształcić wielomian do postaci różnicy kwadratów grupujemy go w dwa nawiasy

w jednym umieszczamy wyrazy \(\displaystyle{ x^4}\) oraz \(\displaystyle{ x^3}\)
a w drugim trójmian kwadratowy
Pomiędzy nawiasami stawiamy oczywiście znak minus

Wielomian w pierwszym nawiasie sprowadzamy do kwadratu dodając odpowiednie wyrazy
do obydwu nawiasów zgodnie ze wzorami skróconego mnożenia

Wielomian w drugim nawiasie jest trójmianem kwadratowym i będzie kwadratem
gdy jego wyróżnik będzie równy zero
Aby móc przyrównać wyróżnik do zera bez ryzyka wystąpienia sprzeczności
trzeba go uzależnić od nowej zmiennej
Wprowadzamy więc nową zmienną tak aby wielomian z pierwszego nawiasu nadal był kwadratem
Dodajemy do obydwu nawiasów odpowiednie wyrazy
(znowu korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy/różnicy)
Liczymy wyróżnik trójmianu kwadratowego i przyrównujemy go do zera
Dostajemy równanie trzeciego stopnia , rozwiązujemy je sprowadzając odpowiednimi podstawieniami
do równania kwadratowego , bierzemy jeden pierwiastek tego równania i wstawiamy go w miejsce wprowadzonej zmiennej

Gdyby liczyć od razu wyróżnik (z rugownika czy też wykorzystując funkcje symetryczne)
to dostalibyśmy odpowiedź na pytanie kiedy równanie ma pierwiastki wielokrotne


Ponewor, masz lepszy pomysł bo z rozkładem na czynniki kwadratowe będzie trochę liczenia

Gdyby udało się jakoś wykorzystać te dodatkowe założenia to prawdopodobnie nie trzeba by było
rozkładać na czynniki kwadratowe