Wyznacz wszystkie wartosci parametru m, dla których suma odwrotności pierwiastków
równania: \(\displaystyle{ \frac{3}{x+3}= \frac{1}{m} - \frac{8-2m}{ x^{2}+2x-3 }}\)
jest równa \(\displaystyle{ \frac{5}{m-3}}\).
zrobiłem tak i nie wiem czy dobrze:
Założenie:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x \neq -3 \\
x \neq 1 \\
m \neq 3 \\
m \neq 0 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \frac{3}{x+3}= \frac{ x^{2}+2x-3+2m ^{2} -8m }{m( x^{2}+2x-3) }}\)
po wymnożeniu na krzyż, przeniesieniu na jedną stronę i pogrupowaniu:
\(\displaystyle{ x^{3} +(5-3m) x^{2} +(2 m^{2}-14m+3)x+6m^{2} -15m-9=0}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{ x_{1} } + \frac{1}{x_{2}} + \frac{1}{x_{3}} = \frac{5}{m-3} \Rightarrow \frac{ x_{2}x_{3}+x_{1}x_{3}+x_{1}x_{2} }{x_{1}x_{2}x_{3}}= \frac{5}{m-3}}\)
stosując wzoru Vietea:
\(\displaystyle{ x_{1}x_{2}x_{3}=-d}\)
\(\displaystyle{ x_{2}x_{3}+x_{1}x_{3}+x_{1}x_{2}=c}\)
otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \frac{-( 2m^{2} -14m+3)}{6 m^{2}-15m-9 } = \frac{5}{m-3}}\)
po wymnożeniu i przeniesieniu na jedną stronę:
\(\displaystyle{ m ^{3} +5 m^{2} -15m-27=0}\)
mamy 3 rozwiazania:
\(\displaystyle{ m_{1} =3}\)
\(\displaystyle{ m_{2} =-4+ \sqrt{7}}\)
\(\displaystyle{ m_{3} =-4- \sqrt{7}}\)
ale pierwsze z nich nie spełnia założenia.
