Dana jest f-cja f. Znajdź wszystkie pierwiastki f(f(x))

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
Zielinsky
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 47
Rejestracja: 10 paź 2011, o 20:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 5 razy

Dana jest f-cja f. Znajdź wszystkie pierwiastki f(f(x))

Post autor: Zielinsky »

Funkcja \(\displaystyle{ f}\) dana jest wzorem:

\(\displaystyle{ f(x)=ax^{2}-x}\)

Znajdź wszystkie pierwiastki równania \(\displaystyle{ f(f(x))=0}\) w zależności od parametru \(\displaystyle{ a}\).

....
\(\displaystyle{ f(f(x))}\) wyszło mi że jest równa:

\(\displaystyle{ f(f(x))=x(a^{3}x^{3}-2ax^{2}+1)}\)

Dalej nie wiem co zrobić żeby odpowiedzieć na pytanie dane w zdaniu. Proszę pomóżcie
Ostatnio zmieniony 26 mar 2012, o 00:25 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.
octahedron
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3568
Rejestracja: 7 mar 2011, o 22:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 910 razy

Dana jest f-cja f. Znajdź wszystkie pierwiastki f(f(x))

Post autor: octahedron »

\(\displaystyle{ f(x)=ax^{2}-x=x(ax-1)\\
f(f(x))=f(x)(af(x)-1)=x(ax-1)(ax(ax-1)-1)=\\=x(ax-1)((ax)^2-ax-1)=x(ax-1)\left(ax-\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)\left(ax-\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)=0\\
a=0\Rightarrow f(f(x))=0 \Leftrightarrow x\in\left\{ 0\right\} \\
a\ne 0\Rightarrow f(f(x))=0 \Leftrightarrow x\in\left\{ 0;\frac{1}{a};\frac{1-\sqrt{5}}{2a};\frac{1+\sqrt{5}}{2a}\right\}}\)
ODPOWIEDZ