Wyznacz największą wartość funkcji

[MrG]

Nie stosując rachunku różniczkowego znaleźć największą wartość funkcji \(\displaystyle{ \ f(x)=x(x-6)^2 \ dla \ x \in \left\langle 0;6\right\rangle}\)

[Ponewor]

jak dla mnie to wciągnij x do nawiasu

[MrG]

Nie wiem jak to ma zaprowadzić do rozwiązania ? Możesz trochę bardziej podpowiedzieć ?

[mattrym]

Ja próbowałem to zrobić z nierówności Cauchy'ego o średnich, jednak nic to nie dało (mimo iż z pozoru wszystko szło gładko). Przyłączam się do próśb kolegi, gdyż zainteresował mnie ten problem.

[piasek101]

Może tak - minimum lokalne mamy dla \(\displaystyle{ x=6}\).

Jeśli przesuniemy wykres o (k) jednostek do dołu tak aby pierwiastki były symetrycznie rozłożone względem środkowego (a) to (z symetryczności funkcji względem (a)) dostaniemy \(\displaystyle{ x}\) dla którego będziemy liczyć max wyjściowej.

Czyli \(\displaystyle{ x(x-6)^2-k=(x-a)(x-(a-t))(x-(a+t))}\) i pobawić się aby powyznaczać co trzeba.

[Ponewor]

ja w swoim rozwiązaniu chlip znalazłem błąd ....

EDIT

dobra poszedłem do siebie wkurzony i wymłóciłem coś takiego, ładne to to nie jest :

Ukryta treść:    

Mam jakieś super objawienie, zgaduję, albo rysuję wykres naszej funkcji i zauważam, że nasze \(\displaystyle{ x \approx 2}\). W sumie to może to nie takie głupie, bo jak dałem dziś to zadanko koledze to od razu powiedział "\(\displaystyle{ x=2}\) lub coś koło tego". wiem, że \(\displaystyle{ f(x)=x(x-6)^{2}}\) czyli \(\displaystyle{ f(2)=2 \ast (2-6)^{2} = 2 \ast 16 = 32}\). Teraz pozostaje szukać takiego x dla którego \(\displaystyle{ f(x) > 32}\). Niech szukane \(\displaystyle{ x=2+a}\) gdzie z oczywistych przyczyn \(\displaystyle{ a \in \left\langle -2, 4\right\rangle}\). Wtedy \(\displaystyle{ x-6=a-4}\) czyli \(\displaystyle{ (x-6)^{2}=a^{2}-8a+16}\), zatem \(\displaystyle{ f(x)=a^{3}-6a^{2}+32}\). \(\displaystyle{ f(x)>32 \Leftrightarrow a^{3}-6a^{2}+32>32 \Leftrightarrow a^{3}-6a^{2}>0 \Leftrightarrow a^{2}(a-6)>0}\). Do rozwiązania została banalna nierówność, do zrobienia na dziesięć tysięcy różnych sposobów, w każdym razie, dla każdego \(\displaystyle{ a}\) (z wcześniej podawanych przedziałów), \(\displaystyle{ f(x) \le 32}\). W szczególności dla \(\displaystyle{ a=0}\), czyli \(\displaystyle{ x=2}\), \(\displaystyle{ f(x)}\) osiąga największą wartość równą \(\displaystyle{ 32}\).

[MrG]

Ja zrobiłem tak samo

[kamil13151]

\(\displaystyle{ f(x)=x(x-6)^2-32+32=(x-8)(x-2)^2+32}\)

Od razu widać

[bosa_Nike]

Ja próbowałem to zrobić z nierówności Cauchy'ego o średnich, jednak nic to nie dało (mimo iż z pozoru wszystko szło gładko). Przyłączam się do próśb kolegi, gdyż zainteresował mnie ten problem.

\(\displaystyle{ x(x-6)^2=4\cdot x\left(3-\frac{x}{2}\right)^2}\)

[piasek101]

Dwa wcześniejsze opierają się na ,,zauważeniu" (i to jest naciągane), że max w przedziale to 32.

[Ponewor]

ok masz rację od początku mówiłem, że ładne to to nie jest. Daj zatem twoje rozwiązanie, bo proponowałeś coś wcześniej, ale nikt się nie podjął dokończyć (ja go nie zrozumiałem po prostu ).

[piasek101]

Czyli \(\displaystyle{ x(x-6)^2-k=(x-a)(x-(a-t))(x-(a+t))}\) i pobawić się aby powyznaczać co trzeba.

I z tego wychodzi co trzeba.