Reszty z dzielenia.

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
squared
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1017
Rejestracja: 21 mar 2009, o 11:11
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 167 razy
Pomógł: 152 razy

Reszty z dzielenia.

Post autor: squared »

Kompletnie zapomniałem jak zrobić to zadanie, chociaż tak naprawdę tego typu zadań masę rozwiazałem. Jednak proszę o jakąś wskazóweczkę jak je ruszyć.

Reszta z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ W}\) przez wielomian \(\displaystyle{ P(X)=x^{3}+2x^{2}-x-2}\) jest równa \(\displaystyle{ x^{2}+x+1}\).Wyznacz resztą z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ W}\) przez wielomian \(\displaystyle{ V(X)=X^{2} - 1}\).

Jedyne co mi przychodzi na myśl to może rozpisać, że:
\(\displaystyle{ W(X)=P(X)Q(X)+R(X)_{1} \\
W(X)=V(X)S(X)+R(X)_{2} \\ \\
W(X)=(x+2)(x-1)(x+1)Q(X)+ x^{2}+x+1\\
W(X)=(x-1)(x+2)S(X)+R(X)_{2}}\)


Może coś z tym układem równań zrobić?
\(\displaystyle{ \begin{cases} W(X)=(x+2)(x-1)(x+1)Q(X)+ x^{2}+x+1\\ W(X)=(x-1)(x+2)S(X)+R(X)_{2} \end{cases} \\}\)
Awatar użytkownika
kristoffwp
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 688
Rejestracja: 28 gru 2009, o 00:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bielsko - Biała
Podziękował: 20 razy
Pomógł: 88 razy

Reszty z dzielenia.

Post autor: kristoffwp »

Wskazówka:
Wiesz ile wynosi \(\displaystyle{ W(1)}\) i \(\displaystyle{ W(-1)}\). Wynika to z tego, co już napisałeś, mianowicie, że \(\displaystyle{ W(X)=(x+2)(x-1)(x+1)Q(X)+ x^{2}+x+1}\)
Wiesz również, że dla każdego \(\displaystyle{ x}\)
\(\displaystyle{ W(x)=(x-1)(x+1)f(x)+ax+b}\), dla pewnych liczb \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\).
Awatar użytkownika
izaizaiza
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 208
Rejestracja: 26 wrz 2010, o 17:03
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 44 razy
Pomógł: 9 razy

Reszty z dzielenia.

Post autor: izaizaiza »

Czemu czasem zapisujecie \(\displaystyle{ x}\) wielką literą?
squared
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1017
Rejestracja: 21 mar 2009, o 11:11
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 167 razy
Pomógł: 152 razy

Reszty z dzielenia.

Post autor: squared »

kristoffwp pisze: Wiesz ile wynosi \(\displaystyle{ W(1)}\) i \(\displaystyle{ W(-1)}\). Wiesz również, że dla każdego \(\displaystyle{ x}\)
\(\displaystyle{ W(x)=(x-1)(x+1)f(x)+ax+b}\), dla pewnych liczb \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\).
Skąd te dwie rzeczy są? Nie wiedze tego .
Awatar użytkownika
kristoffwp
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 688
Rejestracja: 28 gru 2009, o 00:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bielsko - Biała
Podziękował: 20 razy
Pomógł: 88 razy

Reszty z dzielenia.

Post autor: kristoffwp »

Stopień wielomianu będącego resztą jest mniejszy od stopnia wielomianu, przez który dzielisz. Co do \(\displaystyle{ W(1)}\) i \(\displaystyle{ W(-1)}\), to wstaw po prostu pod x do wyrażenia, które zapisałeś najpierw 1 a potem -1.
squared
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1017
Rejestracja: 21 mar 2009, o 11:11
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 167 razy
Pomógł: 152 razy

Reszty z dzielenia.

Post autor: squared »

Już mi się rozjaśnia coś. Czyżby o to chodziło:
\(\displaystyle{ \begin{cases} W(x)=(x+2)(x-1)(x+1)Q(x)+ x^{2}+x+1\\ W(x)=(x-1)(x+1)S(x)+R(x) \end{cases} \\
\begin{cases} W(x)=(x+2)(x-1)(x+1)Q(x)+ x^{2}+x+1\\ W(x)=(x-1)(x+1)S(x)+ax+b \end{cases} \\
\begin{cases} W(1)=3\\ W(1)=a+b \end{cases} \wedge \begin{cases} W(-1)=1\\ W(-1)=-a+b \end{cases} \\ \Rightarrow \begin{cases} 3=a+b\\ 1=-a+b \end{cases}}\)
.


No i z tego wychodzi, że \(\displaystyle{ R(x)=x-2}\).
izaizaiza pisze:Czemu czasem zapisujecie \(\displaystyle{ x}\) wielką literą?
W moim przypadku jest to tylko i wyłącznie nieuwaga.
Awatar użytkownika
izaizaiza
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 208
Rejestracja: 26 wrz 2010, o 17:03
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 44 razy
Pomógł: 9 razy

Reszty z dzielenia.

Post autor: izaizaiza »

Aha, ok, myślałam, że jakaś zasada, o której nie słyszałam .
ODPOWIEDZ