Uzasadnianie dzielenia wielomianów

[omg001]

Witam
Dostałem takowe zadanie do zrobienia. Czy umie je ktoś rozwiązać, pomóc w rozwiązaniu, naprowadzić na nie ?

Reszta z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ W(x) = x^{4} - 2x^{3} + ax ^{2} + bx + c}\) przez dwumian \(\displaystyle{ x-2}\) jest równa \(\displaystyle{ -24}\), a reszta z dzielenia tego wielomianu przez dwumian \(\displaystyle{ x+4}\) wynosi \(\displaystyle{ 240}\). Uzasadnij, że jeśli dwumian \(\displaystyle{ x+1}\) występuje w rozkładzie na czynniki wielomianu \(\displaystyle{ W}\), to dwumian \(\displaystyle{ x-1}\) również.

[lukasz1804]

Wystarczy skorzystać z twierdzenia Bezouta, ewentualnie także z odpowiedniego wniosku z tego twierdzenia.

Z założenia i wspomnianego twierdzenia dostajemy łatwo \(\displaystyle{ \begin{cases} W(2)=-24 \\ W(-4)=240 \end{cases}\iff\begin{cases} 4a+2b+c=-24 \\ 16a-4b+c=-144 \end{cases}}\). Wyznacz teraz np. \(\displaystyle{ b,c}\) w zależności od \(\displaystyle{ a}\) i podstaw do wzoru wielomianu.
W świetle twierdzenia Bezouta należy teraz wykazać, że jeśli \(\displaystyle{ -1}\) jest pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ W}\) (zależnego już teraz od jednego parametru \(\displaystyle{ a}\)), to jest nim także liczba \(\displaystyle{ 1}\).
Załóż zatem, że \(\displaystyle{ W(-1)=0}\), wyznacz wartość parametru \(\displaystyle{ a}\) i wykaż, że dla tej wartości parametru zachodzi też równość \(\displaystyle{ W(1)=0}\).