Witam!
Mam niby proste zadanie z którym mam pewien problem.
Należy wykazać, że równanie:
\(\displaystyle{ x^6-x^5+x^4-x^3+x^2-x+1=0}\)
Nie posiada rozwiązań rzeczywistych. Rozłożyłem sobie to na wszystkie możliwe sposoby, ale żaden nie chce dać np. sumy wyrażeń podniesionych do kwadratu, a powinno się dać. Jakaś podpowiedź?
Z góry dzięki.
Wykaż brak rozwiązań
-
Tmkk
- Użytkownik
- Posty: 1718
- Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrołęka
- Podziękował: 59 razy
- Pomógł: 501 razy
Wykaż brak rozwiązań
Rozłożę tak:
\(\displaystyle{ x^4(x^2-x+1)-x(x^2-x+1) = -1\\
x(x^3-1)(x^2-x+1) = -1\\
x(x-1)(x^2+x+1)(x^2-x+1) = -1}\)
Dla \(\displaystyle{ x \ge 1}\), \(\displaystyle{ L \ge 0}\), więc równość nie jest spełniona
Dla \(\displaystyle{ x \le 0}\), \(\displaystyle{ L \ge 0}\), więc równość nie jest spełniona
Pozostało sprawdzić \(\displaystyle{ x \in (0;1)}\)
Przekształcę tak:
\(\displaystyle{ x^6+x^4(1-x)+x^2(1-x)+(1-x) = 0\\
x^6+ (1-x)(x^4+x^2+1) = 0}\)
Widać, że w przedziale \(\displaystyle{ x \in (0;1)}\), równanie nie ma rozwiązań, bo jest większe od 0.
Mam nadzieję, że się nie pomyliłem.
\(\displaystyle{ x^4(x^2-x+1)-x(x^2-x+1) = -1\\
x(x^3-1)(x^2-x+1) = -1\\
x(x-1)(x^2+x+1)(x^2-x+1) = -1}\)
Dla \(\displaystyle{ x \ge 1}\), \(\displaystyle{ L \ge 0}\), więc równość nie jest spełniona
Dla \(\displaystyle{ x \le 0}\), \(\displaystyle{ L \ge 0}\), więc równość nie jest spełniona
Pozostało sprawdzić \(\displaystyle{ x \in (0;1)}\)
Przekształcę tak:
\(\displaystyle{ x^6+x^4(1-x)+x^2(1-x)+(1-x) = 0\\
x^6+ (1-x)(x^4+x^2+1) = 0}\)
Widać, że w przedziale \(\displaystyle{ x \in (0;1)}\), równanie nie ma rozwiązań, bo jest większe od 0.
Mam nadzieję, że się nie pomyliłem.