Wyznacz wzór wielomianu

[xoyox]

Jednym z pierwiastków wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) stopnia trzeciego jest liczba \(\displaystyle{ 1}\) a suma pozostałych dwóch pierwiastków jest równa \(\displaystyle{ 0}\). Do wykresu tego wielomianu należy punkt \(\displaystyle{ A(3,1)}\). Wiedząc że reszta z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) przez dwumian \(\displaystyle{ (x-2)}\) jest równa \(\displaystyle{ -2}\), wyznacz wzór tego wielomainu.

[major37]

W(x) jest postaci \(\displaystyle{ ax ^{3}+bx ^{2}+cx+d}\) Skoro jeden jest pierwiastkiem to \(\displaystyle{ a+b+c+d=0}\) Należy punkt A to \(\displaystyle{ 27a+9b+3c+d=1}\) i \(\displaystyle{ 8a+4b+2c+d=-2}\) Nic mi nie przychodzi z tą sumą dwóch pozostałych pierwiastków jedynie tyle że dwa pozostałem pierwiastki to liczby przeciwne ale nie wiem jak do tego ułożyć równanie.

[xoyox]

.

[major37]

źle. zauważ chociaż by że u Ciebie współczynnik przy najwyższej potędze będzie b a nie jest powiedziane że a=b

[bosa_Nike]

W(x) jest postaci \(\displaystyle{ ax ^{3}+bx ^{2}+cx+d}\)

\(\displaystyle{ W(x)}\) stopnia trzeciego

\(\displaystyle{ a\neq 0}\)

Jednym z pierwiastków wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) stopnia trzeciego jest liczba \(\displaystyle{ 1}\) a suma pozostałych dwóch pierwiastków jest równa \(\displaystyle{ 0}\).

\(\displaystyle{ -\frac{b}{a}=1\ \Rightarrow\ a=-b\ \Rightarrow\ a+b+c+d=a-a+c+d=0\ \Rightarrow\ c=-d}\)

\(\displaystyle{ 27a+9b+3c+d=1}\) i \(\displaystyle{ 8a+4b+2c+d=-2}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases}18a+2c=1\\ 4a+c=-2\end{cases}}\)

[konradzik012]

przepraszam ze podbijam, ale nie rozumiem skad bierze się zapis:
\(\displaystyle{ -\frac{b}{a}=1}\)

[piasek101]

Nie analizowałem.

Ale podam jeszcze jeden sposób : \(\displaystyle{ W(x)=a(x-t)(x+t)(x-1)}\)

[konradzik012]

ten sposób znam, ale zainteresował mnie sposób bosa_Nike bo jest o wiele szybszy:)

[major37]

Jest to z wzorów Vieta dla wielomianu stopnia trzeciego. Z treści zadania wynika że suma trzech pierwiastków jest równa 1 a wzór na sumę to \(\displaystyle{ - \frac{b}{a}}\)