Rozne pierwiastki wielomianu

[qwadrat]

Zadanie. Określ liczbe roznych pierwiastkow wielomianu \(\displaystyle{ W(x)=ax ^{3}+x ^{2}+x}\) w zależnosci od wartosci wspolczynnika a.

\(\displaystyle{ \begin{cases} \delta >0 \\ x _{1} x _{2} \neq 0 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ a=0 \rightarrow \mbox{2 różne pierwiastki}}\)
\(\displaystyle{ \delta=1-4a>0}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{4} >a \Rightarrow \left( - \infty ; \frac{1}{4} \right)}\)
\(\displaystyle{ x _{1} x _{2}= \frac{1}{a}=0 \Rightarrow \mbox{zbiór pusty}}\)

\(\displaystyle{ \delta<0 \Leftrightarrow \left( \frac{1}{4}; \infty \right)}\)


\(\displaystyle{ f\left( a\right)=0 \begin{cases} \mbox{3 różne pierwiastki dla} a \ \in \left( - \infty ; \frac{1}{4} \right) \\ \mbox{2 różne pierwiastki dla} \ a=0 \\ \mbox{1 pierwiastek dla} \ a \ \in \left( \frac{1}{4} ; \infty \right) \end{cases}}\)

Dlaczego w odpowiedzi zadania \(\displaystyle{ a= \frac{1}{4}}\) jest liczone jako 2 rozne pierwiastki? Przeciez jeden jest dwukrotny

[major37]

Jeżeli za \(\displaystyle{ a}\) wstawisz \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\) masz dwa różne pierwiastki jeden to zero a drugi to \(\displaystyle{ \frac{1}{4}x ^{2}+x+1=0}\) rozwiąż to kwadratowe i zobaczysz. Delta na pewno jest równa zero a pierwiastka nie liczyłem