Równanie trzeciego stopnia

[forget24]

Jakie są warunki konieczne i wystarczające na \(\displaystyle{ a,b \in R}\), tak aby równanie \(\displaystyle{ x^{3} + ax +b = 0}\) miało dokładnie trzy rozwiązania rzeczywiste?
Z czego powinienem skorzystać?

[Marcinek665]

Tutaj znajdziesz artykuł poświęcony w całości równaniom 3 i 4 stopnia. Jest tam też odpowiedź na Twoje pytanie

122194.htm

[forget24]

Nie wiem dlaczego, ale nie potrafię dalej znaleźć rozwiązania mojego problemu, chodzi mi o to, że mam np. dany wzór na rozwiązanie równania trzeciego stopnia, ale dotyczy to przypadku gdy pierwiastek jest tylko jeden, dotyczy też to warunku na deltę we wzorze Cardano. Która metoda pozwoliłaby mi odpowiedzieć na to pytanie?

[tatteredspire]

Jak masz wielomian \(\displaystyle{ W(x)=ax^3+bx^2+cx+d}\), gdzie \(\displaystyle{ a,b,c,d \in \mathbb{R}}\) dla którego zachodzi zależność \(\displaystyle{ \frac{\left(\frac{-\frac{b^3}{27a^2}+\frac{b^3}{9a^2}-\frac{cb}{3a}+d}{a}\right)^2}{4}+\frac{\left(\frac{\frac{b^2}{3a}-\frac{2b^2}{3a}+c}{a}\right)^3}{27}<0}\), to wielomian ten ma 3 pierwiastki rzeczywiste (jeśli ta zależność nie zachodzi, to nie ma trzech pierwiastków rzeczywistych), które wyrażają się wzorami

\(\displaystyle{ x_1=2\sqrt{-\frac{\frac{\frac{b^2}{3a}-\frac{2b^2}{3a}+c}{a}}{3}} \cdot \cos \frac{ \alpha }{3}-\frac{b}{3a} \\ x_2=2\sqrt{-\frac{\frac{\frac{b^2}{3a}-\frac{2b^2}{3a}+c}{a}}{3}} \cdot \cos \left(\frac{ \alpha }{3}+\frac{2\pi}{3}\right)-\frac{b}{3a} \\ x_3=2\sqrt{-\frac{\frac{\frac{b^2}{3a}-\frac{2b^2}{3a}+c}{a}}{3}} \cdot \cos \left(\frac{ \alpha }{3}+\frac{4\pi}{3}\right)-\frac{b}{3a}}\)

gdzie \(\displaystyle{ \cos \alpha =\frac{3\frac{-\frac{b^3}{27a^2}+\frac{b^3}{9a^2}-\frac{cb}{3a}+d}{a}}{2\frac{\frac{b^2}{3a}-\frac{2b^2}{3a}+c}{a}\sqrt{-\frac{\frac{\frac{b^2}{3a}-\frac{2b^2}{3a}+c}{a}}{3}}}}\)

[Marcinek665]

Nie wiem dlaczego, ale nie potrafię dalej znaleźć rozwiązania mojego problemu, chodzi mi o to, że mam np. dany wzór na rozwiązanie równania trzeciego stopnia, ale dotyczy to przypadku gdy pierwiastek jest tylko jeden, dotyczy też to warunku na deltę we wzorze Cardano. Która metoda pozwoliłaby mi odpowiedzieć na to pytanie?

Uwaga:
Wyrażenie występujące pod pierwiastkiem kwadratowym w powyższym wzorze Cardano zwie się delta czyli wyróżnik równania . Ma miejsce ważny fakt: Jeśli \(\displaystyle{ \Delta > 0}\) , to równanie (A) ma dokładnie jeden pierwiastek rzeczywisty dany powyżej wyprowadzonym wzorem.

\(\displaystyle{ \Delta=\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}\)

To jest dokładnie to, o czym napisał tatteredspire tylko nie wygląda tak groźnie