Parametr, równanie 3-go st."_"

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
matemaniak508
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 37
Rejestracja: 15 gru 2011, o 16:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: M-ce
Podziękował: 6 razy

Parametr, równanie 3-go st."_"

Post autor: matemaniak508 »

Wyznaczyć wszystkie liczby m, dla których wielomian \(\displaystyle{ W(x)=x^{3}-mx^{2}+mx-(m^{2}+1)}\) ma pierwiastek całkowity (wnioskuje przynajmniej jeden).

m jest całkowite,więc musimy znaleźć pary liczb całkowitych (x;m) spełniających równanie \(\displaystyle{ m^{2}+(x^{2}-x)m-(x^{3}-1)=0}\)

Czy na tym etapie rozwiązywania możemy wyciągnąć wniosek, że dla każdego x istnieje tylko jedno m?
(co byłoby równoznaczne z tym, że \(\displaystyle{ \Delta=0}\)??
i w konsekwencji wyliczamy \(\displaystyle{ \Delta +4=(x^{2}+x)^{2}}\)\(\displaystyle{ \Rightarrow 4=(x^{2}+x)^{2}}\)


(Okazuje się, że tak jest po rozwiązaniu równania (II sposób): \(\displaystyle{ (x^{2}+m)(x-m)=1}\))
Ostatnio zmieniony 12 mar 2012, o 13:57 przez matemaniak508, łącznie zmieniany 1 raz.
major37
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1631
Rejestracja: 30 wrz 2010, o 13:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Witaszyce
Podziękował: 288 razy
Pomógł: 72 razy

Parametr, równanie 3-go st."_"

Post autor: major37 »

Jeżeli liczba całkowita \(\displaystyle{ p \neq 1}\) jest pierwiastkiem wielomianu o współczynnikach całkowitych to suma współczynników tego wielomianu jest podzielna przez \(\displaystyle{ p-1}\). Może pójdzie z tego
matemaniak508
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 37
Rejestracja: 15 gru 2011, o 16:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: M-ce
Podziękował: 6 razy

Parametr, równanie 3-go st."_"

Post autor: matemaniak508 »

Nie bardzo rozumiem jak to zastosować...
Skąd wiadomo że chociaż jeden z pierwiastków 1-ego równania nie jest całkowity?
ODPOWIEDZ