Pierwiastki wielomiany - pytanie

denatlu · Post autor: **denatlu** » 11 mar 2012, o 20:31

Czy są jakieś określone warunki żeby wielomian miał dokładnie \(\displaystyle{ 1}\) lub \(\displaystyle{ 2}\) lub \(\displaystyle{ 3}\) lub \(\displaystyle{ 4}\) .... pierwiastki?

Jakie to zasady?

Wiem, że jak jest:

\(\displaystyle{ x^{4}+x^{2}+1=0}\) to gdy delta jest większa od zera to są dwa. Ale jak jest już przy wielomianie czwartego stopnia, gdzie jest też trzecia potęga.

I czy można zauważyć bez specjalnego liczenia ile jest pierwiastków w wielomianie?

I jak jest z wielomianem \(\displaystyle{ 3}\) stopnia.

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 11 mar 2012, o 20:37

Nie ma - oprócz praktyki i wyjątków np takich jak podałeś.

Nieparzystego stopnia ma co najmniej jeden rzeczywisty.

Największa możliwa ilość rzeczywistych to stopień wielomianu.

denatlu · Post autor: **denatlu** » 11 mar 2012, o 20:57

Wiadomo, że pierwiastkami wielomiany \(\displaystyle{ W(x)=x ^{3} +ax ^{2} +bx+6}\) są liczby \(\displaystyle{ -1}\) i \(\displaystyle{ 2}\).

No i jak tu wpaść na pomysł, że to jest:
\(\displaystyle{ W(x)=(x+1)(x-2)(x-r)}\)

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 11 mar 2012, o 21:00

\(\displaystyle{ W(-1)=0}\) oraz \(\displaystyle{ W(2)=0}\) (i nie ma na co wpadać)

denatlu · Post autor: **denatlu** » 11 mar 2012, o 21:05

ale jak z tego wyliczyć najprosciej \(\displaystyle{ r}\) o czym trzeba pomyslec? i co to \(\displaystyle{ r}\) oznacza patrząc na ogólną postać wielomianu.

leapi · Post autor: **leapi** » 11 mar 2012, o 21:07

Popatrz na wyraz wolny

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 11 mar 2012, o 21:09

\(\displaystyle{ W(-1)=0}\) oznacza ,,wstaw do wielomianu (-1) zamiast x-sa i otrzymane przyrównaj do zera" - dostaniesz równanie z niewiadomymi (a) i (b).

Potem to samo z \(\displaystyle{ W(2)}\).

Rozwiązać układ równań - dostaniesz (a) i (b) - czyli masz znany wielomian - wyznaczasz jego trzeci pierwiastek.

Chciałem abyś miał wyznaczony wielomian.

denatlu · Post autor: **denatlu** » 11 mar 2012, o 21:13

Ja wiem, że to można układem równań i tak zrobiłem, ale jest własnie jakaś inna metoda..

dlaczego \(\displaystyle{ 2r=6}\)? na co trzeba zobaczyć z tym \(\displaystyle{ 2r}\)?

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 11 mar 2012, o 21:19

Wymnóż liczby (wyrazy wolne) z nawiasów.

leapi · Post autor: **leapi** » 11 mar 2012, o 21:20

porównaj wyrazy wolne: jednym masz 6
w drugim wyraz wolny powstanie z możenia \(\displaystyle{ 1\cdot (-2)\cdot r}\)

kropka+ · Post autor: **kropka+** » 11 mar 2012, o 21:21

Podstaw \(\displaystyle{ x=0}\) wtedy \(\displaystyle{ W(0)=6=2r}\)

Mariusz M · Post autor: **Mariusz M** » 13 mar 2012, o 17:25

Bez specjalnego liczenia ,raczej trudno coś zauważyć ale gdybyś
spróbował policzyć wyróżnik , rozłożyć wielomian na czynniki kwadratowe
porównać ze wzorami skróconego mnożenia to może coś wyjdzie
Jak znasz pochodne to możesz spróbować pozbyć się pierwiastków wielokrotnych wielomianu
Do równania czwartego stopnia włącznie nawet nieźle to idzie , jednak coś policzyć trzeba

piasek101 pisze:Nie ma - oprócz praktyki i wyjątków np takich jak podałeś.

Nieparzystego stopnia ma co najmniej jeden rzeczywisty.

Największa możliwa ilość rzeczywistych to stopień wielomianu.

Nie ma ?

A co z wyróżnikiem ?

Równanie czwartego stopnia da się rozłożyć na iloczyn dwóch trójmianów kwadratowe
Jeżeli równanie czwartego stopnia ma współczynniki rzeczywiste to można je tak rozłożyć
aby trójmiany kwadratowe też miały współczynniki rzeczywiste
Jeżeli wielomian o współczynnikach rzeczywistych ma pierwiastki zespolone (z niezerową częścią urojoną) to są one parami sprzężone

Po tym jak uda się taki wielomian rozłożyć na iloczyn dwóch trójmianów (jak rozłożyć podaje np Sierpiński w Zasady algebry wyższej) łatwym jest określenie ilości pierwiastków rzeczywistych

W przypadku równań drugiego i trzeciego stopnia ilość pierwiastków można określić bezpośrednio
na podstawie wyróżnika

Wyróżnik wielomianu jest funkcją symetryczną względem pierwiastków tego wielomianu

\(\displaystyle{ \Delta=\left( -1\right)^{ \frac{n\left( n-1\right) }{2} } \prod_{ \alpha \neq \beta }^{}{\left( x_{ \alpha }-x_{ \beta }\right)^{2} }}\)

Wyróżnik może być policzony jako rugownik wielomianu i jego pochodnej

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 13 mar 2012, o 21:17

mariuszm pisze: Nie ma ?

A co z wyróżnikiem ?

Czytałeś na jaki post odpowiadałem ?

Sam napisałeś (patrz początek z którego cytuję) podobnie.