Pierwiastki wielomiany - pytanie
- denatlu
- Użytkownik
- Posty: 524
- Rejestracja: 10 mar 2011, o 20:03
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 128 razy
- Pomógł: 14 razy
Pierwiastki wielomiany - pytanie
Czy są jakieś określone warunki żeby wielomian miał dokładnie \(\displaystyle{ 1}\) lub \(\displaystyle{ 2}\) lub \(\displaystyle{ 3}\) lub \(\displaystyle{ 4}\) .... pierwiastki?
Jakie to zasady?
Wiem, że jak jest:
\(\displaystyle{ x^{4}+x^{2}+1=0}\) to gdy delta jest większa od zera to są dwa. Ale jak jest już przy wielomianie czwartego stopnia, gdzie jest też trzecia potęga.
I czy można zauważyć bez specjalnego liczenia ile jest pierwiastków w wielomianie?
I jak jest z wielomianem \(\displaystyle{ 3}\) stopnia.
Jakie to zasady?
Wiem, że jak jest:
\(\displaystyle{ x^{4}+x^{2}+1=0}\) to gdy delta jest większa od zera to są dwa. Ale jak jest już przy wielomianie czwartego stopnia, gdzie jest też trzecia potęga.
I czy można zauważyć bez specjalnego liczenia ile jest pierwiastków w wielomianie?
I jak jest z wielomianem \(\displaystyle{ 3}\) stopnia.
-
- Użytkownik
- Posty: 23496
- Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: piaski
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 3264 razy
Pierwiastki wielomiany - pytanie
Nie ma - oprócz praktyki i wyjątków np takich jak podałeś.
Nieparzystego stopnia ma co najmniej jeden rzeczywisty.
Największa możliwa ilość rzeczywistych to stopień wielomianu.
Nieparzystego stopnia ma co najmniej jeden rzeczywisty.
Największa możliwa ilość rzeczywistych to stopień wielomianu.
- denatlu
- Użytkownik
- Posty: 524
- Rejestracja: 10 mar 2011, o 20:03
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 128 razy
- Pomógł: 14 razy
Pierwiastki wielomiany - pytanie
Wiadomo, że pierwiastkami wielomiany \(\displaystyle{ W(x)=x ^{3} +ax ^{2} +bx+6}\) są liczby \(\displaystyle{ -1}\) i \(\displaystyle{ 2}\).
No i jak tu wpaść na pomysł, że to jest:
\(\displaystyle{ W(x)=(x+1)(x-2)(x-r)}\)
No i jak tu wpaść na pomysł, że to jest:
\(\displaystyle{ W(x)=(x+1)(x-2)(x-r)}\)
- denatlu
- Użytkownik
- Posty: 524
- Rejestracja: 10 mar 2011, o 20:03
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 128 razy
- Pomógł: 14 razy
Pierwiastki wielomiany - pytanie
ale jak z tego wyliczyć najprosciej \(\displaystyle{ r}\) o czym trzeba pomyslec? i co to \(\displaystyle{ r}\) oznacza patrząc na ogólną postać wielomianu.
-
- Użytkownik
- Posty: 23496
- Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: piaski
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 3264 razy
Pierwiastki wielomiany - pytanie
\(\displaystyle{ W(-1)=0}\) oznacza ,,wstaw do wielomianu (-1) zamiast x-sa i otrzymane przyrównaj do zera" - dostaniesz równanie z niewiadomymi (a) i (b).
Potem to samo z \(\displaystyle{ W(2)}\).
Rozwiązać układ równań - dostaniesz (a) i (b) - czyli masz znany wielomian - wyznaczasz jego trzeci pierwiastek.
Chciałem abyś miał wyznaczony wielomian.
Potem to samo z \(\displaystyle{ W(2)}\).
Rozwiązać układ równań - dostaniesz (a) i (b) - czyli masz znany wielomian - wyznaczasz jego trzeci pierwiastek.
Chciałem abyś miał wyznaczony wielomian.
- denatlu
- Użytkownik
- Posty: 524
- Rejestracja: 10 mar 2011, o 20:03
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 128 razy
- Pomógł: 14 razy
Pierwiastki wielomiany - pytanie
Ja wiem, że to można układem równań i tak zrobiłem, ale jest własnie jakaś inna metoda..
dlaczego \(\displaystyle{ 2r=6}\)? na co trzeba zobaczyć z tym \(\displaystyle{ 2r}\)?
dlaczego \(\displaystyle{ 2r=6}\)? na co trzeba zobaczyć z tym \(\displaystyle{ 2r}\)?
- Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6909
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Pierwiastki wielomiany - pytanie
Bez specjalnego liczenia ,raczej trudno coś zauważyć ale gdybyś
spróbował policzyć wyróżnik , rozłożyć wielomian na czynniki kwadratowe
porównać ze wzorami skróconego mnożenia to może coś wyjdzie
Jak znasz pochodne to możesz spróbować pozbyć się pierwiastków wielokrotnych wielomianu
Do równania czwartego stopnia włącznie nawet nieźle to idzie , jednak coś policzyć trzeba
Nie ma ?
A co z wyróżnikiem ?
Równanie czwartego stopnia da się rozłożyć na iloczyn dwóch trójmianów kwadratowe
Jeżeli równanie czwartego stopnia ma współczynniki rzeczywiste to można je tak rozłożyć
aby trójmiany kwadratowe też miały współczynniki rzeczywiste
Jeżeli wielomian o współczynnikach rzeczywistych ma pierwiastki zespolone (z niezerową częścią urojoną) to są one parami sprzężone
Po tym jak uda się taki wielomian rozłożyć na iloczyn dwóch trójmianów (jak rozłożyć podaje np Sierpiński w Zasady algebry wyższej) łatwym jest określenie ilości pierwiastków rzeczywistych
W przypadku równań drugiego i trzeciego stopnia ilość pierwiastków można określić bezpośrednio
na podstawie wyróżnika
Wyróżnik wielomianu jest funkcją symetryczną względem pierwiastków tego wielomianu
\(\displaystyle{ \Delta=\left( -1\right)^{ \frac{n\left( n-1\right) }{2} } \prod_{ \alpha \neq \beta }^{}{\left( x_{ \alpha }-x_{ \beta }\right)^{2} }}\)
Wyróżnik może być policzony jako rugownik wielomianu i jego pochodnej
spróbował policzyć wyróżnik , rozłożyć wielomian na czynniki kwadratowe
porównać ze wzorami skróconego mnożenia to może coś wyjdzie
Jak znasz pochodne to możesz spróbować pozbyć się pierwiastków wielokrotnych wielomianu
Do równania czwartego stopnia włącznie nawet nieźle to idzie , jednak coś policzyć trzeba
piasek101 pisze:Nie ma - oprócz praktyki i wyjątków np takich jak podałeś.
Nieparzystego stopnia ma co najmniej jeden rzeczywisty.
Największa możliwa ilość rzeczywistych to stopień wielomianu.
Nie ma ?
A co z wyróżnikiem ?
Równanie czwartego stopnia da się rozłożyć na iloczyn dwóch trójmianów kwadratowe
Jeżeli równanie czwartego stopnia ma współczynniki rzeczywiste to można je tak rozłożyć
aby trójmiany kwadratowe też miały współczynniki rzeczywiste
Jeżeli wielomian o współczynnikach rzeczywistych ma pierwiastki zespolone (z niezerową częścią urojoną) to są one parami sprzężone
Po tym jak uda się taki wielomian rozłożyć na iloczyn dwóch trójmianów (jak rozłożyć podaje np Sierpiński w Zasady algebry wyższej) łatwym jest określenie ilości pierwiastków rzeczywistych
W przypadku równań drugiego i trzeciego stopnia ilość pierwiastków można określić bezpośrednio
na podstawie wyróżnika
Wyróżnik wielomianu jest funkcją symetryczną względem pierwiastków tego wielomianu
\(\displaystyle{ \Delta=\left( -1\right)^{ \frac{n\left( n-1\right) }{2} } \prod_{ \alpha \neq \beta }^{}{\left( x_{ \alpha }-x_{ \beta }\right)^{2} }}\)
Wyróżnik może być policzony jako rugownik wielomianu i jego pochodnej
-
- Użytkownik
- Posty: 23496
- Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: piaski
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 3264 razy
Pierwiastki wielomiany - pytanie
Czytałeś na jaki post odpowiadałem ?mariuszm pisze: Nie ma ?
A co z wyróżnikiem ?
Sam napisałeś (patrz początek z którego cytuję) podobnie.