Równanie trzeciego stopnia...

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
Awatar użytkownika
Tomek_Fizyk-10
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 319
Rejestracja: 20 lis 2010, o 15:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Biskupiec
Podziękował: 73 razy
Pomógł: 3 razy

Równanie trzeciego stopnia...

Post autor: Tomek_Fizyk-10 »

Witam! Mam problem z wyznaczeniem jednego pierwiastka z równania sześciennego.
Wychodzę z postaci kanonicznej
\(\displaystyle{ y ^{3} + py + q = 0}\)
podstawiam: \(\displaystyle{ y = u + v}\) podnoszę to do trzeciej potęgi
\(\displaystyle{ y ^{3} = 3uv (u + v) + u ^{3} + v ^{3} = 3uvy + u ^{3} + v ^{3}}\)
\(\displaystyle{ y ^{3} - 3uvy - (u ^{3} + v ^{3} ) = 0}\)
Porównując to z początkową postacią kanoniczną równania sześciennego, otrzymujemy:
\(\displaystyle{ p = -3uv}\)
\(\displaystyle{ q = -(u ^{3} + v ^{3} )}\)
\(\displaystyle{ u = \frac{p}{-3v}}\)
\(\displaystyle{ q - \frac{p ^{3} }{27v ^{3} } + v ^{3} = 0}\) mnożę obustronnie przez \(\displaystyle{ v ^{3}}\) i podstawiam \(\displaystyle{ v ^{3} = t}\)
\(\displaystyle{ t ^{2} + qt - \frac{p ^{3} }{27} = 0}\)
Z tego równania można wyznaczyć maksymalnie dwa rozwiązania, które potem wystarczy wstawić w poprzednie podstawienie \(\displaystyle{ y = u + v}\), bo \(\displaystyle{ u = \frac{p}{-3v}}\) oraz \(\displaystyle{ v = \sqrt[3]{t}}\) i to będzie to niby jedno rozwiązanie równania sześciennego, tylko moje pytanie, dlaczego na wikipedii wyznaczają tylko jedno określone rozwiązanie równania kwadratowego (ze zmienną \(\displaystyle{ t}\))? Gdzie pozostałe? Czy to drugie jest złe?

link:
... ierwiastek
Ostatnio zmieniony 6 mar 2012, o 22:02 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Temat umieszczony w złym dziale.
kamil13151
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5018
Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 459 razy
Pomógł: 912 razy

Równanie trzeciego stopnia...

Post autor: kamil13151 »

Czytaj dalej:
Poniżej będzie przedstawiona metoda, pozwalająca otrzymać wszystkie pierwiastki równania (2), jeśli jeden już znaleziony według powyższej metody
Awatar użytkownika
Tomek_Fizyk-10
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 319
Rejestracja: 20 lis 2010, o 15:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Biskupiec
Podziękował: 73 razy
Pomógł: 3 razy

Równanie trzeciego stopnia...

Post autor: Tomek_Fizyk-10 »

No tak, dzięki!
ODPOWIEDZ