Jak rozwiązać taka nierównosć?

[uczen100]

Witam.

Jestem uczniem liceum i głowię się jak rozwiązać taką oto nierówność:
\(\displaystyle{ m^3-3m+1<0}\)

Nie jestem w stanie tego rozwiązać posługując się wiadomościami z zakresu rozszerzonego w liceum.

[leapi]

Rozkład na czynniki z tw Bezuta nie przejdzie. Zostaje rozkład z użyciem wzorów Caradano.

[uczen100]

A czy ktoś byłby wstanie rozpisać dla mnie to zadanie?

I czy na prawdę jest to jedyny sposób rozwiązania takiej nierówności, gdyż patrząc na złożoność tych wzorów (

Kod: Zaznacz cały

http://www.math.us.edu.pl/~pgladki/faq/node127.html

) zajmie to mnóstwo czasu.

[leapi]

Wzory z podręcznika:

\(\displaystyle{ x^3+ax=b}\)

\(\displaystyle{ x=\sqrt[3]{\frac{b}{2}+\sqrt{\left( \frac{b}{2}\right)^2+\left( \frac{a}{3}\right)^3 }}-
\sqrt[3]{-\frac{b}{2}+\sqrt{\left( \frac{b}{2}\right)^2+\left( \frac{a}{3}\right)^3 }}}\)

[uczen100]

Rozumiem, że w ten sposób znajdę jeden pierwiastek, a resztę po podzieleniu?

[tatteredspire]

Za pomocą wyłącznie liczb rzeczywistych i działań arytmetycznych raczej to ciężko będzie wyznaczyć o ile w ogóle się da. Można wyznaczyć za pomocą liczb zespolonych/funkcji trygonometrycznych.

[uczen100]

A w jaki sposób wykorzystać do tego funkcje trygonometryczne?

[tatteredspire]

Podam Ci gotowy wzór na pierwiastki tego wielomianu, który masz w zadaniu

Jak masz wielomian \(\displaystyle{ W(x)=ax^3+bx^2+cx+d}\), gdzie \(\displaystyle{ a,b,c,d \in \mathbb{R}}\) dla którego zachodzi zależność \(\displaystyle{ \frac{\left(\frac{-\frac{b^3}{27a^2}+\frac{b^3}{9a^2}-\frac{cb}{3a}+d}{a}\right)^2}{4}+\frac{\left(\frac{\frac{b^2}{3a}-\frac{2b^2}{3a}+c}{a}\right)^3}{27}<0}\), to wielomian ten ma 3 pierwiastki rzeczywiste, które wyrażają się wzorami

\(\displaystyle{ x_1=2\sqrt{-\frac{\frac{\frac{b^2}{3a}-\frac{2b^2}{3a}+c}{a}}{3}} \cdot \cos \frac{ \alpha }{3}-\frac{b}{3a} \\ x_2=2\sqrt{-\frac{\frac{\frac{b^2}{3a}-\frac{2b^2}{3a}+c}{a}}{3}} \cdot \cos \left(\frac{ \alpha }{3}+\frac{2\pi}{3}\right)-\frac{b}{3a} \\ x_3=2\sqrt{-\frac{\frac{\frac{b^2}{3a}-\frac{2b^2}{3a}+c}{a}}{3}} \cdot \cos \left(\frac{ \alpha }{3}+\frac{4\pi}{3}\right)-\frac{b}{3a}}\)

gdzie \(\displaystyle{ \cos \alpha =\frac{3\frac{-\frac{b^3}{27a^2}+\frac{b^3}{9a^2}-\frac{cb}{3a}+d}{a}}{2\frac{\frac{b^2}{3a}-\frac{2b^2}{3a}+c}{a}\sqrt{-\frac{\frac{\frac{b^2}{3a}-\frac{2b^2}{3a}+c}{a}}{3}}}}\)