Rozkładanie na czynniki(4 przykłady)

[thinus]

Witam.
Potrzebuję małej pomocy w zrobieniu 4 przykładów z wielomianów. Chodzi o rozkładanie na czynniki.
a)
\(\displaystyle{ W(x)=4x^{4}+5x^{2}+1}\)
b)
\(\displaystyle{ W(x)=x^{3}(x^{2}+2)^{2}-9x}\)
c)
\(\displaystyle{ W(x)=(x^{2}-2)^{4}-4x^{4}}\)
Tutaj coś wymyśliłem takiego:
\(\displaystyle{ a^2-b^2=(a-b)(a+b) \\
(x^2-2)^2-(\sqrt2 x)^2=(x^2+\sqrt2 x-2)(x^2-\sqrt2 x-2)}\)
d)
\(\displaystyle{ W(x)=(x^{2}+9)^{4}-16x^{4}}\)

Nie proszę o podanie gotowego rozwiązania na tacy lecz o podpowiedzi.
Z góry dziękuję

[mkosicki]

W pierwszym zrób co kolega na dole zaproponował.
W drugim wyciągnij x przed nawias(z całości) i masz już różnicę kwadratów.
W trzecim powinno być \(\displaystyle{ [(x^2-2)^2]^2 -[2x^2]^2}\), a resztę rozwiązuje się tak jak wymyśliłeś.
W czwartym to samo, różnica kwadratów.

EDIT: Mea culpa, rzeczywiście wychodzą liczby ujemne. Ale wtedy wystarczy policzyć pierwiastki zespolone i wyjdzie rozkład. Jednak Twój sposób jest lepszy, w szkołach chyba teraz nie ma liczb zespolonych?

[mario54]

W pierwszym możesz zapisać to jako:
\(\displaystyle{ 4x^{4}+4x^{2}+x^{2}+1}\) i teraz z dwóch pierwszych wyciągnąć \(\displaystyle{ 4x^{2}}\) przed nawias a później nawias przed nawias.
Delta nic nie da bo są dwa ujemne pierwiastki dojdziemy do \(\displaystyle{ x^{2}=-1 \vee x^{2}=- \frac{1}{4}}\)

[thinus]

Z a i b sobie poradziłem lecz nadal mam problem z c i d.
W c mi wyszło takie coś:
\(\displaystyle{ [(x^2-2)^2]^2-[2x^2]^2=[(x^2-2)^2-2x^2]*[(x^2-2)^2+2x^2]= \\ (x^4-6x^2-4)(x^4-2x^2-4)}\)
I nie wiem co z tym dalej zrobić, zaś w d wyszło mi:
\(\displaystyle{ ...=(x^4+14x^2+81)(x^4+22x^2+81)}\) I też nie wiem co z tym zrobić

[piasek101]

Podstaw \(\displaystyle{ x^2=t}\)

[anna_]

c) i d)
Ja zaczełabym od wzoru:
\(\displaystyle{ a^4-b^4=(a + b)(a - b)(a^2 + b^2)}\)

[thinus]

Dobra narazie tylko c bo zaczynam się gubić...
\(\displaystyle{ a^4-b^4=(a + b)(a - b)(a^2 + b^2) \\
((x^2-2)^2+2x^2)(x^2-\sqrt2 x-2)(x^2+\sqrt2 x-2) = \\
(x^2-\sqrt2 x-2)(x^2+\sqrt2 x-2)(x^4-2x^2+4) \\
t=x^2}\)
więc
\(\displaystyle{ (t^2-2t+4)(...)(...)\\
\Delta=(-2)^2-4*4=-12}\) więc nie da się tego rozłożyć na postać iloczynową i tutaj utknąłem
W książce odpowiedź jest \(\displaystyle{ (x^2-\sqrt2 x-2)(x^2+\sqrt2 x-2)(x^2-\sqrt6 x+2)(x^2+\sqrt6 x+2)}\)

[anna_]

\(\displaystyle{ x^4-2x^2+4=(x^2+2)^2-6x^2}\)

i wzór na różnicę kwadratów

[thinus]

Ok. Z c sobie poradziłem.
Lecz w d w
\(\displaystyle{ (x^4+14x^2+81)(x^4+22x^2+81)}\) nie będzie wzoru na różnicę kwadratów, więc jak to zrobić?

[piasek101]

Tak jak podpowiadano

\(\displaystyle{ =(x^2+9-2x^2)(x^2-9+2x^2)(x^4+2\red 8\black x^2+81)}\) (do ostatniego to co pisałem)

[edit] Winno być (2) zamiast (8).

[anna_]

Powinno być:
\(\displaystyle{ =(x^2+9-2x^2)(x^2-9+2x^2)(x^4+22x^2+81)}\)

[piasek101]

Tak - poprawiam.

[thinus]

Nadal jakoś nie mogę zrozumieć...
\(\displaystyle{ W(x)=(x^{2}+9)^{4}-16x^{4} \\
a^4-b^4=(a + b)(a - b)(a^2 + b^2) \\
((x^2+9)^2-4x^2)((x^2+9)^2+4x^2)((x^{2}+9)^{4}+16x^{4})\\
(x^2-2x+9)(x^2+2x+9)((x^2+9)^2+4x^2)((x^{2}+9)^{4}+16x^{4})}\)
I tutaj się zacinam, nie wiem co zrobić...

[anna_]

\(\displaystyle{ x^4+22x^2+81}\) - podstawienie i delta

[thinus]

Dziękuję bardzo. Wszystkie przykłady rozwiązałem.