Reszta z dzielenia

[laewqq]

Mam taki wielomian:
\(\displaystyle{ W\left( x\right)=\left( 1-x- x^{2} \right) ^{1000}}\) i mam obliczyc reszte z dzielenia przez wielomian:
\(\displaystyle{ P\left( x\right)= x^{3}+2 x^{2}-x-2}\)

Jak się za to zabrać ?

[loitzl9006]

Rozłóż \(\displaystyle{ P(x)}\) na iloczyn trzech dwumianów (grupowanie wyrazów) - coś w rodzaju

\(\displaystyle{ P(x)=\left( x-x _{1} \right) \left( x-x _{2} \right) \left( x-x _{3} \right)}\), znajdujesz \(\displaystyle{ x _{1} , \ x _{2} , \ x _{3}}\) potem korzystasz z twierdzenia o rozkładzie wielomianu

\(\displaystyle{ W(x)=P(x) \cdot Q(x) + R(x)}\)

gdzie

\(\displaystyle{ P(x)}\) jest dane,

\(\displaystyle{ Q(x)}\) jest wynikiem dzielenia (jest to jakiś wielomian, nieistotne jaki)

\(\displaystyle{ R(x)}\) - reszta z dzielenia.

Korzystasz z tego, że stopień reszty musi być co najmniej o jeden mniejszy niż stopień \(\displaystyle{ P(x)}\) , czyli nasze \(\displaystyle{ R(x)}\) musi być postaci

\(\displaystyle{ R(x)=ax ^{2} +bx+c}\)

Do równania

\(\displaystyle{ W(x)=P(x) \cdot Q(x) + R(x)}\)

wstaw
\(\displaystyle{ R(x)=ax ^{2} +bx+c \\ P(x)= \left( x-x _{1} \right) \left( x-x _{2} \right) \left( x-x _{3} \right)}\)

Teraz zobacz, ile wynosi

\(\displaystyle{ W(x _{1}) \\ W(x _{2}) \\ W(x _{3})}\)

Iloczyn \(\displaystyle{ P(x) \cdot Q(x)}\) powinien się za każdym razem wyzerować, i stworzy się układ trzech równań z trzema niewiadomymi, z którego to wyliczysz szukane \(\displaystyle{ a,b,c}\).

[laewqq]

Spróbowałem zrobić tak jak mówisz, ale nie bardzo chce to wychodzić.

dostaje taki układ równań:

\(\displaystyle{ a+b+c=-1}\)
\(\displaystyle{ a-b+c=1}\)
\(\displaystyle{ 4a-2b+c=-1}\)

z tego raczej nie wyznacze a,b,c.

[piasek101]

A dlaczego nie ? (nie sprawdzałem czy jest zgodne z treścią).

[laewqq]

Tak wychodzi bo po rozłożeniu tego drugiego wielomianu dostaje:
\(\displaystyle{ \left( x-1\right)\left( x+1\right)\left( x+2\right)}\)
teraz pytanie czy to, że ten pierwszy wielomian jest to potegi nic nie zmienia ?

[piasek101]

Nie zmienia.

[Inkwizytor]

dostaje taki układ równań:

\(\displaystyle{ a+b+c=-1}\)
\(\displaystyle{ a-b+c=1}\)
\(\displaystyle{ 4a-2b+c=-1}\)

...bo to zły układ równań był...

[laewqq]

Dlaczego zły ?

[Inkwizytor]

\(\displaystyle{ (-1)^{1000} \neq -1}\)

[laewqq]

Czyli jak powinno być ?

[kropka+]

Popraw pierwsze równanie układu.

\(\displaystyle{ W(1)=(-1) ^{1000}=1 \Rightarrow a+b+c=1}\)

[Inkwizytor]

i trzecie też