Reszta z dzielenia
-
- Użytkownik
- Posty: 151
- Rejestracja: 10 wrz 2011, o 12:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 18 razy
Reszta z dzielenia
Mam taki wielomian:
\(\displaystyle{ W\left( x\right)=\left( 1-x- x^{2} \right) ^{1000}}\) i mam obliczyc reszte z dzielenia przez wielomian:
\(\displaystyle{ P\left( x\right)= x^{3}+2 x^{2}-x-2}\)
Jak się za to zabrać ?
\(\displaystyle{ W\left( x\right)=\left( 1-x- x^{2} \right) ^{1000}}\) i mam obliczyc reszte z dzielenia przez wielomian:
\(\displaystyle{ P\left( x\right)= x^{3}+2 x^{2}-x-2}\)
Jak się za to zabrać ?
-
- Moderator
- Posty: 3050
- Rejestracja: 21 maja 2009, o 19:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Starachowice
- Podziękował: 29 razy
- Pomógł: 816 razy
Reszta z dzielenia
Rozłóż \(\displaystyle{ P(x)}\) na iloczyn trzech dwumianów (grupowanie wyrazów) - coś w rodzaju
\(\displaystyle{ P(x)=\left( x-x _{1} \right) \left( x-x _{2} \right) \left( x-x _{3} \right)}\), znajdujesz \(\displaystyle{ x _{1} , \ x _{2} , \ x _{3}}\) potem korzystasz z twierdzenia o rozkładzie wielomianu
\(\displaystyle{ W(x)=P(x) \cdot Q(x) + R(x)}\)
gdzie
\(\displaystyle{ P(x)}\) jest dane,
\(\displaystyle{ Q(x)}\) jest wynikiem dzielenia (jest to jakiś wielomian, nieistotne jaki)
\(\displaystyle{ R(x)}\) - reszta z dzielenia.
Korzystasz z tego, że stopień reszty musi być co najmniej o jeden mniejszy niż stopień \(\displaystyle{ P(x)}\) , czyli nasze \(\displaystyle{ R(x)}\) musi być postaci
\(\displaystyle{ R(x)=ax ^{2} +bx+c}\)
Do równania
\(\displaystyle{ W(x)=P(x) \cdot Q(x) + R(x)}\)
wstaw
\(\displaystyle{ R(x)=ax ^{2} +bx+c \\ P(x)= \left( x-x _{1} \right) \left( x-x _{2} \right) \left( x-x _{3} \right)}\)
Teraz zobacz, ile wynosi
\(\displaystyle{ W(x _{1}) \\ W(x _{2}) \\ W(x _{3})}\)
Iloczyn \(\displaystyle{ P(x) \cdot Q(x)}\) powinien się za każdym razem wyzerować, i stworzy się układ trzech równań z trzema niewiadomymi, z którego to wyliczysz szukane \(\displaystyle{ a,b,c}\).
\(\displaystyle{ P(x)=\left( x-x _{1} \right) \left( x-x _{2} \right) \left( x-x _{3} \right)}\), znajdujesz \(\displaystyle{ x _{1} , \ x _{2} , \ x _{3}}\) potem korzystasz z twierdzenia o rozkładzie wielomianu
\(\displaystyle{ W(x)=P(x) \cdot Q(x) + R(x)}\)
gdzie
\(\displaystyle{ P(x)}\) jest dane,
\(\displaystyle{ Q(x)}\) jest wynikiem dzielenia (jest to jakiś wielomian, nieistotne jaki)
\(\displaystyle{ R(x)}\) - reszta z dzielenia.
Korzystasz z tego, że stopień reszty musi być co najmniej o jeden mniejszy niż stopień \(\displaystyle{ P(x)}\) , czyli nasze \(\displaystyle{ R(x)}\) musi być postaci
\(\displaystyle{ R(x)=ax ^{2} +bx+c}\)
Do równania
\(\displaystyle{ W(x)=P(x) \cdot Q(x) + R(x)}\)
wstaw
\(\displaystyle{ R(x)=ax ^{2} +bx+c \\ P(x)= \left( x-x _{1} \right) \left( x-x _{2} \right) \left( x-x _{3} \right)}\)
Teraz zobacz, ile wynosi
\(\displaystyle{ W(x _{1}) \\ W(x _{2}) \\ W(x _{3})}\)
Iloczyn \(\displaystyle{ P(x) \cdot Q(x)}\) powinien się za każdym razem wyzerować, i stworzy się układ trzech równań z trzema niewiadomymi, z którego to wyliczysz szukane \(\displaystyle{ a,b,c}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 151
- Rejestracja: 10 wrz 2011, o 12:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 18 razy
Reszta z dzielenia
Spróbowałem zrobić tak jak mówisz, ale nie bardzo chce to wychodzić.
dostaje taki układ równań:
\(\displaystyle{ a+b+c=-1}\)
\(\displaystyle{ a-b+c=1}\)
\(\displaystyle{ 4a-2b+c=-1}\)
z tego raczej nie wyznacze a,b,c.
dostaje taki układ równań:
\(\displaystyle{ a+b+c=-1}\)
\(\displaystyle{ a-b+c=1}\)
\(\displaystyle{ 4a-2b+c=-1}\)
z tego raczej nie wyznacze a,b,c.
-
- Użytkownik
- Posty: 151
- Rejestracja: 10 wrz 2011, o 12:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 18 razy
Reszta z dzielenia
Tak wychodzi bo po rozłożeniu tego drugiego wielomianu dostaje:
\(\displaystyle{ \left( x-1\right)\left( x+1\right)\left( x+2\right)}\)
teraz pytanie czy to, że ten pierwszy wielomian jest to potegi nic nie zmienia ?
\(\displaystyle{ \left( x-1\right)\left( x+1\right)\left( x+2\right)}\)
teraz pytanie czy to, że ten pierwszy wielomian jest to potegi nic nie zmienia ?
- Inkwizytor
- Użytkownik
- Posty: 4105
- Rejestracja: 16 maja 2009, o 15:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 428 razy
Reszta z dzielenia
...bo to zły układ równań był...laewqq pisze: dostaje taki układ równań:
\(\displaystyle{ a+b+c=-1}\)
\(\displaystyle{ a-b+c=1}\)
\(\displaystyle{ 4a-2b+c=-1}\)
- Inkwizytor
- Użytkownik
- Posty: 4105
- Rejestracja: 16 maja 2009, o 15:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 428 razy
- Inkwizytor
- Użytkownik
- Posty: 4105
- Rejestracja: 16 maja 2009, o 15:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 428 razy