równanie sześcienne
-
- Użytkownik
- Posty: 120
- Rejestracja: 27 maja 2011, o 18:30
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Trzebinia/Poznań
równanie sześcienne
Rozwiąż równanie \(\displaystyle{ x^{3} - 2x ^{2} - 13x + 26= 0}\)
Ostatnio zmieniony 3 mar 2012, o 18:44 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Temat umieszczony w złym dziale.
Powód: Temat umieszczony w złym dziale.
-
- Użytkownik
- Posty: 22
- Rejestracja: 1 mar 2012, o 22:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Pomógł: 2 razy
równanie sześcienne
W tym akurat przykładzie ładnie widać, że z dwóch pierwszych elementów można wyłączyć \(\displaystyle{ (x-2)}\), tak samo jak z dwóch końcowych. Mamy więc\(\displaystyle{ x^2(x-2)-13(x-2)}\), a to się przekształca na iloczyn dwóch nawiasów, z których odczytuje się odpowiedź.
-
- Użytkownik
- Posty: 1824
- Rejestracja: 11 sty 2007, o 20:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice, Warszawa
- Podziękował: 73 razy
- Pomógł: 228 razy
równanie sześcienne
Podstawiając
\(\displaystyle{ y=x-\frac{2}{3}}\) otrzymujemy następującą postać równania:
\(\displaystyle{ y^3 - \frac{43}{3}y + \frac{452}{27} = 0}\)
Korzystając z tożsamości:
\(\displaystyle{ (p+q)^3 - 3pq(p+q) - (p^3 + q^3) = 0}\)
i podstawiając \(\displaystyle{ a=p+q}\) otrzymamy, że:
\(\displaystyle{ a^3 - 3apq - (p^3 + q^3) = 0}\)
Jeśli więc dobierzemy tak \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\), że
\(\displaystyle{ \begin{cases} -3pq=-\frac{43}{3} \\ p^3 + q^3 = -\frac{452}{27} \end{cases}}\)
to z równości wielomianów \(\displaystyle{ a}\) będzie pierwiastkiem równania:
\(\displaystyle{ y^3 - \frac{43}{3}y + \frac{452}{27} = 0}\)
Upraszczając układ dostajemy:
\(\displaystyle{ \begin{cases} pq=\frac{43}{9} \\ p^3 + q^3 = -\frac{452}{27} \end{cases}}\)
Łatwo, stosując metodę podstawiania, a potem rozwiązując równanie kwadratowe, otrzymać:
\(\displaystyle{ p=\frac{1}{3}\left( -2 - i\sqrt{39}\right)}\) oraz \(\displaystyle{ q= \frac{1}{3}\left( -2 + i\sqrt{39}\right)}\). Jest to jedno z rozwiązań. Jest ich jednak więcej, ale nam wystarczy tylko to.
Wobec tego \(\displaystyle{ a=p+q = \frac{1}{3}\left( 2 - i\sqrt{39}\right)+\frac{1}{3}\left( 2 + i\sqrt{39}\right) = \frac{4}{3}}\).
Czyli jednym z pierwiastków początkowego równania jest \(\displaystyle{ x=a + \frac{2}{3} = 2}\). Teraz wystarczy już rozłożyć z Hornera wielomian.
\(\displaystyle{ y=x-\frac{2}{3}}\) otrzymujemy następującą postać równania:
\(\displaystyle{ y^3 - \frac{43}{3}y + \frac{452}{27} = 0}\)
Korzystając z tożsamości:
\(\displaystyle{ (p+q)^3 - 3pq(p+q) - (p^3 + q^3) = 0}\)
i podstawiając \(\displaystyle{ a=p+q}\) otrzymamy, że:
\(\displaystyle{ a^3 - 3apq - (p^3 + q^3) = 0}\)
Jeśli więc dobierzemy tak \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\), że
\(\displaystyle{ \begin{cases} -3pq=-\frac{43}{3} \\ p^3 + q^3 = -\frac{452}{27} \end{cases}}\)
to z równości wielomianów \(\displaystyle{ a}\) będzie pierwiastkiem równania:
\(\displaystyle{ y^3 - \frac{43}{3}y + \frac{452}{27} = 0}\)
Upraszczając układ dostajemy:
\(\displaystyle{ \begin{cases} pq=\frac{43}{9} \\ p^3 + q^3 = -\frac{452}{27} \end{cases}}\)
Łatwo, stosując metodę podstawiania, a potem rozwiązując równanie kwadratowe, otrzymać:
\(\displaystyle{ p=\frac{1}{3}\left( -2 - i\sqrt{39}\right)}\) oraz \(\displaystyle{ q= \frac{1}{3}\left( -2 + i\sqrt{39}\right)}\). Jest to jedno z rozwiązań. Jest ich jednak więcej, ale nam wystarczy tylko to.
Wobec tego \(\displaystyle{ a=p+q = \frac{1}{3}\left( 2 - i\sqrt{39}\right)+\frac{1}{3}\left( 2 + i\sqrt{39}\right) = \frac{4}{3}}\).
Czyli jednym z pierwiastków początkowego równania jest \(\displaystyle{ x=a + \frac{2}{3} = 2}\). Teraz wystarczy już rozłożyć z Hornera wielomian.