Znajdź wszystkie wielomiany takie, że...

[Qnip]

Znajdź wszystkie wielomiany \(\displaystyle{ W(x)}\) takie, że \(\displaystyle{ (x+1)W(x+1)=(x+2)W(x)}\).

Jak dokończyć to zadanie, brakuje mi jakiegoś kluczowego stwierdzenia. Doprowadziłem do postaci, nie wiem czy słusznie: \(\displaystyle{ W(x)=(W(x+1)-W(x))(x+1)}\)

[bosa_Nike]

Podstawienie \(\displaystyle{ x=-1}\) daje \(\displaystyle{ W(-1)=0}\), więc \(\displaystyle{ W(x)=(x+1)\cdot Q(x)}\), czyli \(\displaystyle{ W(x+1)=(x+2)\cdot Q(x+1)}\) itd.

[Qnip]

Znaczy się, zauważyłem że ten wielomian \(\displaystyle{ W(x)}\) musi być w postaci \(\displaystyle{ a(x+1)}\), czyli u Ciebie \(\displaystyle{ Q(x)}\) musi być stałą. Tylko jak to wykazać?

[bosa_Nike]

Po podstawieniu jest \(\displaystyle{ (x+1)(x+2)\left( Q(x)-Q(x+1)\right)=0}\) dla każdego \(\displaystyle{ x}\), więc \(\displaystyle{ Q(x+1)=Q(x)}\) dla każdego \(\displaystyle{ x}\), czyli \(\displaystyle{ Q(x)}\) jest stały.