skomplikowane przekształcenie

matematyk1995 · Post autor: **matematyk1995** » 29 lut 2012, o 15:58

witam, mam problem, jak narysować (za pomocą przekształceń) funkcje \(\displaystyle{ f(x)=||x| ^{3} -3|x| ^{2} +|x| -3|}\). Chodzi mi o to jak rozpisać to z tymi różnymi potęgami i jak bedzie wyglądac funkcja wyjściowa tzn. ta, o której zacznę przekształcenia. dziekuję z góry za pomoc

Tmkk · Post autor: **Tmkk** » 29 lut 2012, o 16:01

\(\displaystyle{ f(x) = x^3 - 3x^2 + x - 3}\)

\(\displaystyle{ g(x) = \left| f(\left| x\right| )\right|}\)

matematyk1995 · Post autor: **matematyk1995** » 29 lut 2012, o 16:34

dobra, a teraz od jakiej funkcji mam zacząć przekształcanie?

Tmkk · Post autor: **Tmkk** » 29 lut 2012, o 16:42

od f(x).

Jeżeli nie miałeś do czynienia z pochodnymi, to może być problemem dokładne narysowanie takiego wykresu.

matematyk1995 · Post autor: **matematyk1995** » 29 lut 2012, o 16:46

pochodnych nie miałem, nie chodzi tutaj o to aby rysunek był prefekt, tylko o te przekształcenia, musze zacząć od funkcji elementarnej tzn np. \(\displaystyle{ x ,|x|, x ^{2}, x^{3} , \frac{1}{x}}\)

Tmkk · Post autor: **Tmkk** » 29 lut 2012, o 17:09

Jedyne co mi przychodzi do głowy, to zaczęcie od \(\displaystyle{ x^3-2x}\). Takie coś Cię satysfakcjonuje czy koniecznie trzeba od \(\displaystyle{ x^3}\)?

matematyk1995 · Post autor: **matematyk1995** » 29 lut 2012, o 17:19

a jest możliwe przejscie z \(\displaystyle{ x ^{3} - 2x}\) do \(\displaystyle{ f(x)}\) ?

Tmkk · Post autor: **Tmkk** » 29 lut 2012, o 17:21

Tak, mogę ci to rozpisać, tylko powiedz, czy zadanie pozwala zacząć od \(\displaystyle{ f(x) = x^3 - 2x}\).
Jeżeli natomiast nie, to chyba musisz liczyć na pomoc kogoś innego.

matematyk1995 · Post autor: **matematyk1995** » 29 lut 2012, o 17:24

a wiesz jak narysować funkcje \(\displaystyle{ g(x)=x ^{3} - 2x}\) ?

Tmkk · Post autor: **Tmkk** » 29 lut 2012, o 17:27

Bez użycia pochodnych, to innego sposobu niż tabelką nie widzę. Jeżeli weźmiesz dostatecznie dużo liczb do tabelki, to i tak wykres wyjdzie całkiem niezły.

matematyk1995 · Post autor: **matematyk1995** » 29 lut 2012, o 17:29

jak jesteś w stanie mi rozpisać, jak to zrobić począwszy od tej funkcji to możesz.

Tmkk · Post autor: **Tmkk** » 29 lut 2012, o 17:31

Weźmy funkcję \(\displaystyle{ f(x) = x^3 - 3x^2 + x - 3}\) i trochę ją przekształćmy (można z gotowych wzorów, ale po co).

\(\displaystyle{ x^3 - 3x^2 + x - 3 = 0\\
x = y + 1\\

\\(y+1)^3 - 3(y+1)^2 + (y+1) - 3 = 0\\
y^3 +3y^3+3y+1-3x^2-6y-3+y+1-3=0\\
y^3-2y-4=0}\)

I masz postać kanoniczną, czyli:

\(\displaystyle{ y = x - 1\\
f(x) = (x-1)^3 - 2(x-1) - 4}\)

Jak widać, \(\displaystyle{ f(x)}\) to funkcja \(\displaystyle{ g(x) = x^3 - 2x}\) przesunięta o wektor \(\displaystyle{ [1;-4]}\)
I teraz przekształcenia:

\(\displaystyle{ f_1(x) = x^3 - 2x\\
f_2(x) = f_1(x-1) - 4 = (x-1)^3 - 2(x-1) - 4}\)
\(\displaystyle{ f_3(x) = f_2(\left| x\right| ) = (\left| x\right| -1)^3 - 2(\left| x\right| -1) - 4\\
f_4(x) = \left| f_3(x)\right| = \left| (\left| x\right| -1)^3 - 2(\left| x\right| -1) - 4\right| \\}\)

matematyk1995 · Post autor: **matematyk1995** » 29 lut 2012, o 17:36

zapomniałem dodać że nie 'umiem' postaci kanonicznej równań kwadratowych. Mogę bazować tylko na prostych przekształceniach (symetria względem osi, moduły, i translakcja przez wektor i funkcje typu: \(\displaystyle{ kf(x)}\) i \(\displaystyle{ f(kx)}\) )

Tmkk · Post autor: **Tmkk** » 29 lut 2012, o 17:39

Postać kanoniczna umożliwia Ci właśnie translację przez wektor, którą 'umiesz'.

matematyk1995 · Post autor: **matematyk1995** » 29 lut 2012, o 17:44

dziwne, bo u mnie na lekcji nie padło taki termin jak: ,,kanoniczna' ale ok. wielki dzięki za pomoc -- 29 lut 2012, o 19:50 --mam pytanie jeszcze: nie powinien byc wektor \(\displaystyle{ \left[ 1 ,-4\right]}\) , bo jest taki wzorek :

\(\displaystyle{ f(x)}\) przesunięta o wektor \(\displaystyle{ [p, q] => g(x)= f(x-p) + q}\)