Wielomian W ma postać... (bez wyznaczania współczynników)

[kamiolka28]

Wielomian W ma postać \(\displaystyle{ W(x)=x^{5} +a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x}\), gdzie \(\displaystyle{ a_{1} , a_{2} , a_{3} , a_{4}}\) są pewnymi liczbami rzeczywistymi. Wiedząc dodatkowo, że \(\displaystyle{ W(2)=2, W(4)=4, W(6)=6, W(8)=8}\), oblicz \(\displaystyle{ W(10)}\) (bez wyznaczania współczynników)

[Qń]

Zauważ, że jest także \(\displaystyle{ W(0)=0}\). Rozważ wielomian \(\displaystyle{ V(x)=W(x)-x}\), zastanów się jakie ma on pierwiastki i co z tego wynika.

Q.

[kamiolka28]

nie rozumiem dlaczego \(\displaystyle{ V(x)=W(x)-x}\) ??

[Qń]

Nie rozumiem czego nie rozumiesz.

Zdefiniowanie nowego wielomianu \(\displaystyle{ V}\) w podany sposób jest pomysłem na rozwiązanie zadania. Dlaczego ten pomysł działa, zapewne zobaczysz, gdy zastosujesz się do wskazówki.

Q.

[kamiolka28]

Niestety dalej nie potrafię zrozumieć tego zadania...
Może ktoś jaśniej ??


...

[Qń]

Zauważ, że dla tak zdefiniowanego wielomianu \(\displaystyle{ V}\) mamy:
\(\displaystyle{ V(0)=V(2)=V(4)=V(6)=V(8)=0}\)
Skoro więc znamy pięć pierwiastków wielomianu stopnia piątego (i to takiego, który ma jedynkę przy \(\displaystyle{ x^5}\)), to znamy też cały wielomian - wystarczy użyć tw. Bezout.

Q.

[stanley12]

Qń:
To przez jaką liczbę trzeba podzielić? I co nam z tego jak zostaną te współczynniki niewiadome.

[Qń]

Qń:
To przez jaką liczbę trzeba podzielić?

Nie rozumiem pytania.

I co nam z tego jak zostaną te współczynniki niewiadome.

Co z czego? A współczynników oczywiście nie musimy wyznaczać, jak zresztą jest wyraźnie stwierdzone w treści (choć oczywiście w proponowanym rozwiązaniu wystarczy wymnożyć nawiasy, żeby znaleźć te współczynniki, gdybyśmy akurat mieli kaprys by je znać).

Q.

[stanley12]

Użyć tw. Bezout rozumiem podzielić wielomiam, więc nie wiem przez co. Można jaśniej, zważając na to, że robie to zadanie 1 raz?

[Qń]

Użyć tw. Bezout rozumiem podzielić wielomiam

Niekoniecznie - użyć tw. Bezout to stwierdzić, że wielomian jest przez coś podzielny. Przez co podzielny jest wielomian \(\displaystyle{ V}\) skoro jego pierwiastkami są \(\displaystyle{ 0,2,4,6,8}\)?

Q.

[stanley12]

Przez \(\displaystyle{ 0,2,4,6,8}\). Tak więc stwierdzam, że wielomian \(\displaystyle{ V}\) jest podzielny przez \(\displaystyle{ 0,2,4,6,8}\). Powiedziałbym, że wielomian \(\displaystyle{ W(x)}\) jest podzielny przez \(\displaystyle{ V(x)+x}\), ale , co daje, że jest podzielny przez \(\displaystyle{ x}\) ale to nie jest twierdzenie Bezout, bo one mówi o dzieleniu bez reszty...

[Qń]

Przez \(\displaystyle{ 0,2,4,6,8}\). Tak więc stwierdzam, że wielomian \(\displaystyle{ V}\) jest podzielny przez \(\displaystyle{ 0,2,4,6,8}\)

Czy Ty aby na pewno znasz treść twierdzenia Bezout? Proponowałbym zacząć od przeczytania co mówi to twierdzenie.

Q.

[stanley12]

gdy wielomian \(\displaystyle{ W}\) jest podzielny przez jakiś dwumian \(\displaystyle{ x-a}\) bez reszty, to a jest miejscem zerowym wielomianu \(\displaystyle{ W}\).

Pierwiastkami \(\displaystyle{ V}\) są \(\displaystyle{ 0,2,4,6,8}\) więc jest on podzielny przez te liczby. Chociaż raczej przez \(\displaystyle{ W(x)-x}\)

[Qń]

Po pierwsze: w twierdzeniu Bezout jest wynikanie w obie strony, tzn:
Liczba \(\displaystyle{ a}\) jest pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) wtedy i tylko wtedy gdy \(\displaystyle{ W(x)}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ x-a}\).

Po drugie: skoro nie rozumiesz zupełnie treści tw. Bezout, to może łatwiej Ci będzie na przykładzie. Jeśli \(\displaystyle{ 2012}\) jest pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\), to wielomian \(\displaystyle{ W(x)}\) jest podzielny przez \(\displaystyle{ x-2012}\). I odwrotnie: jeśli \(\displaystyle{ W(x)}\) jest podzielny przez \(\displaystyle{ x-2012}\), to \(\displaystyle{ 2012}\) jest pierwiastkiem tego wielomianu.

Q.

[stanley12]

Zauważ, że jest także \(\displaystyle{ W(0)=0}\). Rozważ wielomian \(\displaystyle{ V(x)=W(x)-x}\), zastanów się jakie ma on pierwiastki i co z tego wynika.

Q.

kontynuując rozwiązywanie zadania, proszę o dalsze wskazówki.