\(\displaystyle{ 4x ^{4} -12x ^{3} +51x ^{2} -90x+54=0}\)
Robię zadanie i mam na końcu problem. Chciałem ze schematu hornera, ale jakoś nie moge znaleźć miejsca zerowego. Może gdzies sie pomyliłem w obliczeniach. I czy jest jakaś latwiejsza metoda, na rozwiązanie w miare szybkie takiego rownania ?
Rozwiąż wielomian
-
Tmkk
- Użytkownik
- Posty: 1718
- Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrołęka
- Podziękował: 59 razy
- Pomógł: 501 razy
Rozwiąż wielomian
Oprócz grupowania i twierdzenia Bézouta, można jeszcze skorzystać z wzorów skróconego mnożenia, podstawienia, wyłączenia przed nawias. Przy wielomianie trzeciego stopnia można spróbować z tego:
... 5%9Bcienne
Pewnie są też inne sposoby, ale ja nie znam.
... 5%9Bcienne
Pewnie są też inne sposoby, ale ja nie znam.
-
Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6908
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Rozwiąż wielomian
Tutaj trójka będzie pierwiastkiem dwukrotnym i po podzieleniu dostaniesz równanie kwadratowe
denatlu, pamiętasz metodę uzupełniania do kwadratu ?
Możesz ją zastosować także do równania czwartego stopnia
Równnanie czwartego stopnia postaci
\(\displaystyle{ x^4+a_{3}x^3+a_{2}x^2+a_{1}x+a_{0}=0}\)
przekształcamy tak aby po lewej stronie otrzymać różnicę kwadratów
Najpierw grupujemy lewą stronę w dwa nawiasy
\(\displaystyle{ \left( x^4+a_{3}x^3\right)-\left( -a_{2}x^2-a_{1}x-a_{0}\right)=0}\)
Wyrażenie z pierwszego nawiasu uzupełniamy do kwadratu korzystając ze wzorów skróconego mnożenia
Zauważamy że wyrażenie z drugiego nawiasu to trójmian kwadratowy i uzupełniamy je do kwadratu korzystając z wyróżnika trójmianu kwadratowego
Gdybyśmy od razu chcieli liczyć wyróżnik wyrażenia w drugim nawiasie to mogłoby się okazać że nie jest on zerowy
trzeba więc uzależnić wyróżnik od nowej zmiennej
Wprowadzamy nową zmienną tak aby wyrażenie w pierwszym nawiasie nadal było kwadratem
(dodajemy do wyrażeń w obydwu nawiasach odpowiednie wyrazy zgodnie ze wzorami skróconego mnożenia)
Licząc wyróżnik wyrażenia z drugiego nawiasu otrzymujemy równanie trzeciego stopnia
Bierzemy jeden pierwiastek równania trzeciego stopnia i wstawiamy go do równania czwartego stopnia
Otrzymujemy w ten sposób równanie czwartego stopnia w postaci różnicy kwadratów
Korzystamy więc ze wzoru na różnicę kwadratów i otrzymujemy iloczyn dwóch trójmianów
\(\displaystyle{ x ^{4} -12x ^{3} +51x ^{2} -90x+54=0\\
\left( x^4-12x^3\right) -\left( -51x^2+90x-54\right)=0\\
\left( x^4-12x^3+36x^2\right)-\left(-15x^2+90x-54\right)=0\\
\left( x^2-6x\right)^2-\left(-15x^2+90x-54\right)=0\\
\left( x^2-6x+ \frac{y}{2} \right)^2-\left(\left(y -15\right) x^2+\left( -6y+90\right) x+ \frac{y^2}{4} -54\right)=0\\
y=15\\
\left( x^2-6x+ \frac{15}{2} \right)^2-\left( \frac{3}{2} \right)^2 =0\\
\left( x^2-6x+9\right)\left( x^2-6x+6\right)=0\\
\left( x-3\right)^2\left( x-3- \sqrt{3} \right)\left( x-3+ \sqrt{3} \right) =0}\)
Jeżeli mamy równanie postaci
\(\displaystyle{ a_{4}x^4+a_{3}x^3+a_{2}x^2+a_{1}x+a_{0}=0 \qquad \left( \star\right)}\)
to podstawieniem
\(\displaystyle{ x=y- \frac{a_{3}}{4a_{4}}}\)
sprowadzamy równanie do postaci
\(\displaystyle{ y^{4}+py^{2}+qy+r=0 \qquad \left(\star\star\right)}\)
Po podstawieniu \(\displaystyle{ 2y=u+v+v}\) do równania \(\displaystyle{ \left( \star\star\right)}\)
otrzymujemy równanie które przekształcamy w układ równań który przypomina wzory Viete'a
dla równania trzeciego stopnia
denatlu, pamiętasz metodę uzupełniania do kwadratu ?
Możesz ją zastosować także do równania czwartego stopnia
Równnanie czwartego stopnia postaci
\(\displaystyle{ x^4+a_{3}x^3+a_{2}x^2+a_{1}x+a_{0}=0}\)
przekształcamy tak aby po lewej stronie otrzymać różnicę kwadratów
Najpierw grupujemy lewą stronę w dwa nawiasy
\(\displaystyle{ \left( x^4+a_{3}x^3\right)-\left( -a_{2}x^2-a_{1}x-a_{0}\right)=0}\)
Wyrażenie z pierwszego nawiasu uzupełniamy do kwadratu korzystając ze wzorów skróconego mnożenia
Zauważamy że wyrażenie z drugiego nawiasu to trójmian kwadratowy i uzupełniamy je do kwadratu korzystając z wyróżnika trójmianu kwadratowego
Gdybyśmy od razu chcieli liczyć wyróżnik wyrażenia w drugim nawiasie to mogłoby się okazać że nie jest on zerowy
trzeba więc uzależnić wyróżnik od nowej zmiennej
Wprowadzamy nową zmienną tak aby wyrażenie w pierwszym nawiasie nadal było kwadratem
(dodajemy do wyrażeń w obydwu nawiasach odpowiednie wyrazy zgodnie ze wzorami skróconego mnożenia)
Licząc wyróżnik wyrażenia z drugiego nawiasu otrzymujemy równanie trzeciego stopnia
Bierzemy jeden pierwiastek równania trzeciego stopnia i wstawiamy go do równania czwartego stopnia
Otrzymujemy w ten sposób równanie czwartego stopnia w postaci różnicy kwadratów
Korzystamy więc ze wzoru na różnicę kwadratów i otrzymujemy iloczyn dwóch trójmianów
\(\displaystyle{ x ^{4} -12x ^{3} +51x ^{2} -90x+54=0\\
\left( x^4-12x^3\right) -\left( -51x^2+90x-54\right)=0\\
\left( x^4-12x^3+36x^2\right)-\left(-15x^2+90x-54\right)=0\\
\left( x^2-6x\right)^2-\left(-15x^2+90x-54\right)=0\\
\left( x^2-6x+ \frac{y}{2} \right)^2-\left(\left(y -15\right) x^2+\left( -6y+90\right) x+ \frac{y^2}{4} -54\right)=0\\
y=15\\
\left( x^2-6x+ \frac{15}{2} \right)^2-\left( \frac{3}{2} \right)^2 =0\\
\left( x^2-6x+9\right)\left( x^2-6x+6\right)=0\\
\left( x-3\right)^2\left( x-3- \sqrt{3} \right)\left( x-3+ \sqrt{3} \right) =0}\)
Jeżeli mamy równanie postaci
\(\displaystyle{ a_{4}x^4+a_{3}x^3+a_{2}x^2+a_{1}x+a_{0}=0 \qquad \left( \star\right)}\)
to podstawieniem
\(\displaystyle{ x=y- \frac{a_{3}}{4a_{4}}}\)
sprowadzamy równanie do postaci
\(\displaystyle{ y^{4}+py^{2}+qy+r=0 \qquad \left(\star\star\right)}\)
Po podstawieniu \(\displaystyle{ 2y=u+v+v}\) do równania \(\displaystyle{ \left( \star\star\right)}\)
otrzymujemy równanie które przekształcamy w układ równań który przypomina wzory Viete'a
dla równania trzeciego stopnia