Wyznaczanie współczynników a i b

[harryharry]

Witam.

Wyznacz wartości parametrów a i b, aby liczby -2 i 1 były pierwiastkami wielomianu W. oblicz trzeci pierwiastek.

\(\displaystyle{ W(x)=(ax+b)( x^{2} +b)}\)

Ułożyłam układ równań, pierwiastki podstawiłam za x i to miało się równać zero. Jednak po doprowadzeniu wyszły mi równania z samymi a i b. Bez wyrazu wolnego. Jak dalej to rozwiązać? Z 'normalnymi' przykładami nie mam problemu, jednak z tym nie mogę sobie poradzić. Będę wdzięczna za pomoc!

[lukasz1804]

Mamy \(\displaystyle{ \begin{cases} (b+4)(b-2a)=0 \\ (b+1)(a+b)=0 \end{cases}}\).

Spróbuj dobrać do \(\displaystyle{ b=-4}\) wartość \(\displaystyle{ a}\) z warunku \(\displaystyle{ a+b=0}\), podobnie dla \(\displaystyle{ b=-1}\) z warunku \(\displaystyle{ b-2a=0}\).
Poza tym rozważ przypadek \(\displaystyle{ b-2a=a+b=0}\).

[chris_f]

Układasz ten układ równań
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{c}
(a+b)(1+b)=0\\ (-2a+b)(4+b)=0\end{array}\right.}\)
Z pierwszego otrzymujemy dwie możliwości: \(\displaystyle{ b=-1\vee a=-b}\)
W pierwszym przypadku po podstawieniu do drugiego mamy
\(\displaystyle{ (-2a-1)(3)=0}\)
\(\displaystyle{ -2a=1}\)
\(\displaystyle{ a=-\frac12}\)
a zatem mamy wielomian \(\displaystyle{ W(x)=(-\frac12x-1)(x^2-1)=0}\). Wtedy tym trzecim pierwiastkiem będzie \(\displaystyle{ x=-1}\).
W drugim przypadku mamy
\(\displaystyle{ (-2b+b)(4+b)=0}\)
\(\displaystyle{ -b(4+b)=0}\)
\(\displaystyle{ b=0\vee b=-4}\)
Dostajemy wtedy dwa możliwe wielomiany
\(\displaystyle{ W(x)=0\vee W(x)=(4x-4)(x^2-4)}\)

Ta pierwsza możliwość odpada, bo wtedy nie będziemy mieć wielomianu trzeciego stopnia, w drugim przypadku trzecim pierwiastkiem będzie \(\displaystyle{ x=2}\).

PS. Można też próbować tak jak @lukasz1804, wyjdzie na to samo.