równania i ich rozwiązania

[breti]

Niech \(\displaystyle{ x _{1} , x _{2} , x _{3}, x _{4}}\) będą rozwiązaniami równania \(\displaystyle{ ax ^{4}+bx ^{2} +c=0}\)
Wykazać, że
\(\displaystyle{ x _{1} +x _{2} +x _{3}+x _{4}=0}\)
\(\displaystyle{ x _{1} \cdot x _{2} \cdot x _{3} \cdot x _{4} = \frac{c}{a}}\)
\(\displaystyle{ x _{1}x _{2}x _{3} + x _{1}x _{2}x _{4} +x _{1}x _{3}x _{4} + x _{2}x _{3}x _{4}=0}\)
\(\displaystyle{ x _{1}x _{2}+x _{1}x _{4}+x _{1}x _{3}+x _{2}x _{3}+x _{2}x _{4}+x _{3}x _{4}= \frac{b}{a}}\)

[ares41]

Lewą stronę można zapisać jako \(\displaystyle{ a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)}\)
Wymnóż nawiasy i skorzystaj z tw. o równości wielomianów.

[breti]

wymnożyłam to ale nie widzę zadnego związku z tym twierdzeniem ;/

[ares41]

To pokaż co Ci wyszło.
Po pogrupowaniu powinno być widoczne od razu.

[breti]

wyszło coś takiego: \(\displaystyle{ a(x ^{4} -x ^{3}x _{4} -x ^{3}x _{3} + x ^{2} x _{3} x _{4} - x ^{3} x _{2} + x ^{2} x _{2} x _{4} + x ^{2} x _{2} x _{3} - xx _{2} x _{3} x _{4} - x ^{3} x _{1} + x ^{2} x _{1} x _{4} + x ^{2} x _{1} x _{3} - xx _{1} x _{3} x _{4} + x ^{2} x _{1} x _{2} - xx _{1} x _{2} x _{4} - xx _{1} x _{2} x _{3} + x _{1} x _{2} x _{3} x _{4} )}\)

[lukasz1804]

Zapisz otrzymane wyrażenie jako sumę algebraiczną (wielomian zmiennej \(\displaystyle{ x}\) o współczynnikach zależnych od \(\displaystyle{ x_1, x_2, x_3, x_4}\)) i porównaj współczynniki otrzymanego i danego wielomianu \(\displaystyle{ ax^4+bx^2+c}\).

[breti]

aha dzięki już wiem jak to zrobić ;D