Nierówności wielomianowe.

[ejejej]

Dane są zbiory:
\(\displaystyle{ A=\{x: x \in\mathbb{R} \wedge 4x ^{3}+12x ^{2}-x-3>0\}}\)
\(\displaystyle{ B=\{x: x \in\mathbb{R} \wedge -x ^{5} +8x ^{2} \le 0\}}\)

Wyznacz zbiór: \(\displaystyle{ A \setminus B}\) i \(\displaystyle{ A \cap B}\).

Niby proste, ale mamy z koleżanką dwa różne wyniki i chciałabym wiedzieć, która z nas ma rację.
Pomóżcie.

[lukasz1804]

Może przedstaw obie wersje rozwiązania? Łatwiej będzie porównać i odnaleźć ewentualne błędy.

[ejejej]

Wynik 1.: \(\displaystyle{ x \in ( \frac{1}{2} ;2)}\) i \(\displaystyle{ x \in (-3;- \frac{1}{2} ) \cup \langle 2; \infty )}\)
Wynik 2.:\(\displaystyle{ x \in (-3;-0,5) \cup (0,5,2)}\) i \(\displaystyle{ x \in \langle 2; \infty )}\)

[piasek101]

2. ok.

[lukasz1804]

\(\displaystyle{ 4x^3+12x^2-x-3>0\iff 4x^2(x+3)-(x+3)>0\iff (x+3)(4x^2-1)>0\iff (x+3)(2x-1)(2x+1)>0\iff x\in(-3,-\frac{1}{2})\cup(\frac{1}{2},+\infty)}\)

\(\displaystyle{ -x^5+8x^2\le 0\iff x^2(x^3-8)\ge 0\iff x^2(x-2)(x^2+2x+4)\ge 0\iff x\in\{0\}\cup\langle 2,+\infty)}\)

Zatem \(\displaystyle{ A=(-3,-\frac{1}{2})\cup(\frac{1}{2},+\infty), B=\{0\}\cup\langle 2,+\infty)}\) i wobec tego mamy

\(\displaystyle{ A\setminus B=(-3,-\frac{1}{2})\cup(\frac{1}{2},2)}\),

\(\displaystyle{ A\cap B=\langle 2,+\infty)}\).

[ejejej]

Dzięki bardzo . )