Zbiorem rozwiązań równania \(\displaystyle{ x^{3}+bx^{2}+bx+1=0}\) jest dwuelementowy. Znajdz ten zbiór.
\(\displaystyle{ x^3+bx^2+bx+1=(x^3+1)+bx(x+1)=(x+1)(x^2-x+1)+bx(x+1)=(x+1)(x^2+(b-1)x+1)}\)
Po sprawdzeniu dla \(\displaystyle{ \Delta=0}\) wychodzi, że spełnia ten warunek\(\displaystyle{ b=-1}\) i zbiorem rozwiązań jest \(\displaystyle{ \left\{ -1, 1\right\}}\).
Jednak jeszcze wypadałoby sprawdzić co się dzieje dla \(\displaystyle{ \Delta >0}\), gdzie jednym z rozwiązań jest \(\displaystyle{ x1}\) lub \(\displaystyle{ x2}\)=\(\displaystyle{ -1}\). Jaki dokładnie warunek powinien zostać postawiony. Proszę o pomoc.
Ps. W odpowiedziach wynikiem jest \(\displaystyle{ \left\{ -1, 1\right\}}\)
Zbiór rozwiązań równania
-
loitzl9006
- Moderator
- Posty: 3050
- Rejestracja: 21 maja 2009, o 19:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Starachowice
- Podziękował: 29 razy
- Pomógł: 816 razy
Zbiór rozwiązań równania
Skoro zbiór rozwiązań ma być \(\displaystyle{ 2}\)-elementowy, to równanie
\(\displaystyle{ x ^{2} + \left( b-1 \right) x+1=0}\)
musi mieć jedno rozwiązanie, czyli \(\displaystyle{ \Delta = 0}\)
Z warunku \(\displaystyle{ \Delta = 0}\) wyliczasz \(\displaystyle{ b}\), które spełniają warunki zadania (będą dwa takie \(\displaystyle{ b}\) - trzeba policzyć tak jakby deltę delty),
Podstawiasz teraz każde z wyliczonych \(\displaystyle{ b}\) do równania
\(\displaystyle{ x ^{2} + \left( b-1 \right) x+1=0}\)
i teraz wyliczasz \(\displaystyle{ x _{1}}\) i \(\displaystyle{ x _{2}}\) .
\(\displaystyle{ x ^{2} + \left( b-1 \right) x+1=0}\)
musi mieć jedno rozwiązanie, czyli \(\displaystyle{ \Delta = 0}\)
Z warunku \(\displaystyle{ \Delta = 0}\) wyliczasz \(\displaystyle{ b}\), które spełniają warunki zadania (będą dwa takie \(\displaystyle{ b}\) - trzeba policzyć tak jakby deltę delty),
Podstawiasz teraz każde z wyliczonych \(\displaystyle{ b}\) do równania
\(\displaystyle{ x ^{2} + \left( b-1 \right) x+1=0}\)
i teraz wyliczasz \(\displaystyle{ x _{1}}\) i \(\displaystyle{ x _{2}}\) .
-
infeq
- Użytkownik
- Posty: 513
- Rejestracja: 31 lip 2010, o 17:13
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 18 razy
- Pomógł: 6 razy
Zbiór rozwiązań równania
Ok to ten warunek wyszedł. Ale może być jeszcze taki przypadek, że \(\displaystyle{ \Delta >0}\) i jednym z rozwiązań równania jest właśnie \(\displaystyle{ -1}\) a drugie inne niż \(\displaystyle{ -1}\) i wtedy też zbiór rozwiązań będzie dwuelementowy. Tylko jak to rozwiązać?
-
loitzl9006
- Moderator
- Posty: 3050
- Rejestracja: 21 maja 2009, o 19:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Starachowice
- Podziękował: 29 razy
- Pomógł: 816 razy
Zbiór rozwiązań równania
Wzór Viete'a mówi nam, że
\(\displaystyle{ x _{1} \cdot x _{2} = \frac{c}{a}}\)
W równaniu
\(\displaystyle{ x ^{2} + \left( b-1 \right) x + 1 = 0}\)
\(\displaystyle{ a = c = 1}\)
i to jest niezależne od parametru \(\displaystyle{ b}\)
Także jeżeli weźmiemy przypadek delty większej od zera, to nawet wtedy, gdy jednym z pierwiastków będzie \(\displaystyle{ -1}\), to wiemy, że drugim musi być też \(\displaystyle{ -1}\).
\(\displaystyle{ x _{1} \cdot x _{2} = \frac{c}{a}}\)
W równaniu
\(\displaystyle{ x ^{2} + \left( b-1 \right) x + 1 = 0}\)
\(\displaystyle{ a = c = 1}\)
i to jest niezależne od parametru \(\displaystyle{ b}\)
Także jeżeli weźmiemy przypadek delty większej od zera, to nawet wtedy, gdy jednym z pierwiastków będzie \(\displaystyle{ -1}\), to wiemy, że drugim musi być też \(\displaystyle{ -1}\).