Rozwiąż nierówność

[Cudi29]

Rozwiąż nierówność:
a) \(\displaystyle{ \left| x\right| ^{3} +81<0}\)
b) \(\displaystyle{ \left| x\right| ^{3} +x ^{2} \ge 0}\)

Czy ktoś mógłby mi po kolei wyjaśnić jak to rozwiązać? Oczywiście jeśli chodzi o rozłożenie wartości bezwzględnej na \(\displaystyle{ x \ge 0}\) i \(\displaystyle{ x<0}\) to potrafię, gorzej z dalszym liczeniem.

[Freddy Eliot]

Jeśli to wiesz, to dalej jest z górki.
Weźmy dla \(\displaystyle{ x<0}\) nierówność
\(\displaystyle{ \left| x\right| ^{3} +81<0 \\ \left( -x\right)^{3}+81<0 \\ -x^{3}+81<0 \\ x_{0}=3^{\frac{4}{3}}.}\)
Rysujemy wielomian. Wychodzi, że nierówność jest prawdziwa dla \(\displaystyle{ x \in \left( 3^{\frac{4}{3}},\infty\right).}\) Ale mamy też warunek \(\displaystyle{ x<0.}\)
Bierzemy część wspólną i okazuje się, że jest to zbiór pusty. Analogicznie rozwiązujemy dla \(\displaystyle{ x \ge 0.}\)

[Matt2009]

Czy nie jest oczywiste, że nie ma rozwiązania taka nierówność? Bo wartość bezwzględna nie może być mniejsza od zera. Musisz to pokazać na przypadkach?

[Freddy Eliot]

Tak, jest. Ale chciałam pokazać sposób rozwiązania tego typu nierówności.

[JankoS]

Można tak.
a) Po odjęciu stronami 81 mamy \(\displaystyle{ \left| x\right| ^{3}<-81}\). Prawa strona z definicji jest nieujemna, więc nierówność nie ma rozwiązania.
b) Zauważmy, że \(\displaystyle{ \left| x\right| ^{2} =x ^{2}}\). Wyłączamy wspólny czynnik przed nawias i mamy nierówność \(\displaystyle{ x^2\left(\left| x\right| +1 \right) \ge 0}\). Obydwa czynniki \(\displaystyle{ x^2, \ \left\left| x\right| +1}\) są nieujemne, więc nierowność jest spełniona przez ...

[Cudi29]

Dziękuję bardzo, już wszystko jasne