Równania wielomianowe

[Chrisunia]

Witam,
proszę o pomoc, ponieważ nie mam zielonego pojęcia jak to wyliczyć, z góry dziękuję

a) \(\displaystyle{ -2 x^{5} + 6 x^{4} - 4 x^{3} + 12 x^{2} + 6x - 18 = 0}\)
b) \(\displaystyle{ x^{2} (x+5) - 2(x+5) (2x-1) =0}\)
c) \(\displaystyle{ (x - \frac{2}{3} ) (3 x^{2} - 2) = 3(x- \frac{2}{3} ) (x-1)}\)
d) \(\displaystyle{ x^{4} (x-2) + (2x-4) ( x^{2} +1) = 0}\)
e) \(\displaystyle{ ( x^{4} + 3 x^{3} ) (x-3) = x^{3} - 9x}\)

[Freddy Eliot]

W tego typu przykładach nie trzeba wszystkiego wymnażać na siłę. Można zrobić je sprytniej. Rozwiążę pierwsze równanie, resztę robi się analogicznie:
\(\displaystyle{ -2 x^{5} + 6 x^{4} - 4 x^{3} + 12 x^{2} + 6x - 18 = 0 \\[ex] -2x^{4}\left(x-3\right)-4x^{2}\left( x-3\right)+6\left(x-3 \right) =0 \\[ex] \left( -2x^{4}-4x^{2}+6\right)\left( x-3\right)=0 \\[ex] -2x^{4}-4x^{2}+6=0 \vee x-3=0 \\[ex] x^{4}+2x^{2}-3=0 \vee x=3 \\[ex] x^{4}+2x^{2}-3=0 \\[ex] x^{2}=t, \ t \ge 0 \\[ex] t^{2}+2t-3=0 \\[ex] \Delta=16, \ \sqrt{\Delta}=4 \\[ex] t_{1}=-3 \text{ - sprz.} , \quad t_{2}=1 \\[ex] x^{2}=1 \\[ex] x=1 \vee x=-1 \\[ex]}\)
Podsumowując:
\(\displaystyle{ x \in \left\{ -1,1,3\right\}}\)

[Chrisunia]

a jak będzie z tym 2 i 3 przykładem?

b) \(\displaystyle{ x^{2} (x+5) - 2(x+5) (2x-1) = 0}\)
\(\displaystyle{ (x+5) ( x^{2} - 2 (2x-1)) = 0}\)
\(\displaystyle{ x+5 = 0}\)
\(\displaystyle{ x= - 5}\)

lub

\(\displaystyle{ x^{2} - 4x +4 = 0}\)
i tam później z delty wyliczam
dobrze?

[Freddy Eliot]

Tak, jest prawie dobrze.
Ale powinno być na końcu: \(\displaystyle{ x^{2}-4x+2=0.}\)
I teraz liczysz \(\displaystyle{ \Delta.}\)

[Chrisunia]

no tak ma być 2, dzięki wielkie a w 3?

c) \(\displaystyle{ (x - \frac{2}{3} ) (3 x^{2} - 2) = 3(x- \frac{2}{3} ) (x-1)}\)
\(\displaystyle{ (x- \frac{2}{3} (3 x^{2} - 2) - 3 (x - \frac{2}{3} ) (x-1) = 0}\)
\(\displaystyle{ (x- \frac{2}{3} ) (3 x^{2} - 2 - 3(x-1) = 0}\)
\(\displaystyle{ x = \frac{2}{3} lub 3 x^{2} - 3x + 1 = 0}\)

dobrze?

[Freddy Eliot]

Jest ok.

[Chrisunia]

bardzo Ci dziękuję

-- 14 lut 2012, o 18:14 --

a mogłabyś mi jeszcze pomóc z ostatnim przykładem?