Wielomian st. nieparzystego ma min. 1 pierwiastek

[bemekw]

Udowodnij, że wielomian stopnia nieparzystego mo conajmniej jeden pierwiastek rzeczywisty.

Ogólny schemat - myślę, że trzeba by było udowodnić, że granica w \(\displaystyle{ \pm \infty = \pm \infty \vee \mp \infty}\) a następnie korzystając z tego, że wielomian jest funkcją ciągłą - skorzystać z własności Darboux. Tyle, że niestety nie mam pojęcia, jak udowodnić każdą z tych rzeczy.

Pierwszy problem:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \lim_{x \to + \infty} W(x) = \pm \infty \\ \lim_{x \to - \infty} W(x) = \mp \infty \end{cases}}\) (w zależności od współczynnika przy najwyższej potędze)

[pyzol]

Załóżmy że \(\displaystyle{ n}\) jest nieparzyste, niech \(\displaystyle{ W(x)=a_0 x^n+a_1 x^{n-1}+...+a_n}\), przy czym \(\displaystyle{ a_0\neq 0}\).
Skoro już tak ładnie napisałem możemy przejść do liczenia granicy, a wystarczy wyciągnąć \(\displaystyle{ x^n}\) przed nawias i w zależności od \(\displaystyle{ a_0}\) otrzymamy odpowiednie granice.

[bemekw]

Czyli:

Niech \(\displaystyle{ a_n > 0}\) i niech \(\displaystyle{ n = 2k +1, k \in \mathbb{N}}\), wtedy
\(\displaystyle{ \lim_{x \rightarrow + \infty} a_n \cdot x^n + \ldots + a_1 \cdot x + a_0 = \lim_{x \rightarrow + \infty} x^n \cdot (a_n + a_{n-1} \cdot \frac{x^{n-1}}{x^n} + \ldots + a_1 \cdot \frac{x}{x^n} + \frac{a_0}{x_n}) =}\)

\(\displaystyle{ \lim_{x \rightarrow + \infty} x^n \cdot a_n = + \infty}\), gdyż \(\displaystyle{ a_n > 0}\), \(\displaystyle{ x \rightarrow + \infty}\).

Podpobnie dla pozostałych przypadków. Czy jest poprawnie?

[pyzol]

Tak.