Pierwiastki wielomianu

[Disnejx86]

Mam takie jeszcze zadanko:

Dany jest wielomian \(\displaystyle{ W(x)=(x-2)(x^{2}-2mx+1-m^{2})}\)

Polecenie jest takie:
a) wyznacz m, dl aktórego wielomian ma 3 rozne pierwiastki, to co x=2 to pierwszy, a drugi nawias to mam dać warunek Delta dodatnia? Starczy? Czy coś trzeba kombinować z tym x=2, podstawić i odrzucić pewne m, dla którego x=2??

b) wyznacz m, wiedząc że x=2 to jedyny pierwiastek wielomianu, tutaj nie mam pomysłu

Proszę o pomoc w tych dwóch podpunktach!!! Pozdrawiam

[loitzl9006]

a) jak trzy różne pierwiastki, to trzeba kombinować z tym \(\displaystyle{ x=2}\)
b)
- delta mniejsza od zera

albo

- delta równa zero,
- \(\displaystyle{ x _{0} =2}\)
Wtedy \(\displaystyle{ x=2}\) będzie trzykrotnym pierwiastkiem, ale jedynym.

[Disnejx86]

Trzeba kombinować że np. dla x=2 jest takie m, ale wtedy mamy pierwiastek 2 albo 3 (który) krotny, więc rozwiązujemy Delta > 0 i m różne od (tego co nam wyjdzie wyżej tak) ?

[loitzl9006]

Musi zachodzić:

\(\displaystyle{ x _{1} \neq 2 \wedge x _{2} \neq 2}\)

Trzeba skorzystać ze wzorów na \(\displaystyle{ x _{1} , \ x _{2}}\) - czyli trzeba powyliczać najpierw deltę itd.

[Disnejx86]

Ej możesz mi to dokładnie rozwiązać te 2 podpunkty bo coś nie za bardzo rozumiem a chciałbym zrozumieć

[mat_61]

Dla a) wystarczy taki warunek:

\(\displaystyle{ \begin{cases} \Delta >0 \\ P(2) \neq 0 \end{cases}}\)

gdzie:

\(\displaystyle{ P(x)=x^{2}-2mx+1-m^{2}}\)

[Disnejx86]

a do B)

\(\displaystyle{ \Delta < 0 \wedge x \neq 2}\) (z tego wyliczamy m, tak?)

[mat_61]

Tak jak Ci napisał loitzl9006 powinieneś rozważyć dwa przypadki:

1) \(\displaystyle{ \Delta<0}\) dla wielomianu \(\displaystyle{ P(x)}\). Wówczas ten wielomian nie ma pierwiastków i \(\displaystyle{ x=2}\) jest jedynym pierwiastkiem.

2) \(\displaystyle{ \Delta=0}\) . Wówczas gdyby okazało się, że podwójny pierwiastek \(\displaystyle{ x_{o}=2}\), to także byłby spełniony warunek z zadania, bo byłby to jedyny (w sumie potrójny) pierwiastek. Rozwiązanie tego przypadku polega więc na wyznaczeniu takiego \(\displaystyle{ m}\) dla którego \(\displaystyle{ \Delta=0}\) i sprawdzeniu jaka jest wówczas wartość pierwiastka.