Zamodelować krzywą Hermita

[Łukasz_1989]

Mam takie zadanie do zrobienia

Kod: Zaznacz cały

Zamodelować (znaleźć jej równanie parametryczne) krzywą Hemite'a lub Beziera

Krzywa w kształcie podobnym do litery U (to nie istotnie, chce wiedzieć jak ogólnie się takie zadania rozwiązuje).

Niestety nigdzie nie potrafię znaleźć podobnego przykładowego zadania
Czy ktoś z Was potrafi robić takie rzeczy?

PS Zależy mi na czasie więc jak nikt nie zechce za darmo pomóc to możecie odpłatne propozycje składać na PW

[szw1710]

Tu masz

Kod: Zaznacz cały

http://corel.wodip.opole.pl/krzywe_beziera/krzywe_beziera.htm

. Także ich parametryzację. Najczęściej bierze się dwa punkty kontrolne, stąd ten opis. Jednak ogólniej można wziąć dowolną skończoną liczbę punktów kontrolnych, oczywiście wtedy równanie parametryczne ulegnie zmianie. Ale na literkę U dwa powinny wystarczyć.

Poeksperymentuj z czymś takim (możesz zmieniać punkty controls). Krzywą wymodelowałem dwoma kawałkami Beziera. Zapewne można uzyskać lepszy kształt, ale grafikiem nie jestem.

\(\displaystyle{ \begin{tikzpicture}[very thick]
\draw[gray,step=0.5,thin](0,0) grid (4,5);
\draw[red!50!black] (1,4)..controls (1,0.7) and (1,1)..(2,1);
\draw[red!50!black] (2,1)..controls (3,1) and (3,0.7)..(3,4);
\end{tikzpicture}}\)

Kod obrazka

Kod: Zaznacz cały

egin{tikzpicture}[very thick]
  draw[gray,step=0.5,thin](0,0) grid (4,5);
  draw[red!50!black] (1,4)..controls (1,0.7) and (1,1)..(2,1);
  draw[red!50!black] (2,1)..controls (3,1) and (3,0.7)..(3,4);
 end{tikzpicture}

A czemu się tak zaperzasz, że Ci zależy na czasie? O 3:30 nikt rozsądny nie siedzi przy komputerze, tylko śpi

[Łukasz_1989]

Tu masz

Kod: Zaznacz cały

http://corel.wodip.opole.pl/krzywe_beziera/krzywe_beziera.htm

. Także ich parametryzację. Najczęściej bierze się dwa punkty kontrolne, stąd ten opis. Jednak ogólniej można wziąć dowolną skończoną liczbę punktów kontrolnych, oczywiście wtedy równanie parametryczne ulegnie zmianie. Ale na literkę U dwa powinny wystarczyć.

Ok, no to dla 2 punktów raczej prosta sprawa. Z tego co rzuciłem okiem na ten opis (za chwilę jeszcze dokładniej go przeanalizuję) to wystarczy po prostu wybrać 4 punktu (2 krańcowe i 2 kontrolne) i podstawić do wzoru.
A jaki byłby ogólny wzór dla n punktów kontrolnych?

A czemu się tak zaperzasz, że Ci zależy na czasie?

Bo potrzebuję tego najpóźniej do niedzieli.

O 3:30 nikt rozsądny nie siedzi przy komputerze, tylko śpi

Nie każdy może sobie pozwolić na to by tak wcześnie iść spać

PS Jeszcze kwestia krzywych Hermite`a pozostała do rozstrzygnięcia.

[szw1710]

Na krzywych Hermite'a się nie znam. Chyba że są to wielomiany Hermite'a. Z każdym węzłem \(\displaystyle{ x_i}\) wiąże się dwie wartości \(\displaystyle{ y_i,z_i}\). Jeśli mamy \(\displaystyle{ n}\) różnych węzłów, to istnieje dokładnie jeden wielomian \(\displaystyle{ w}\) stopnia \(\displaystyle{ \le 2n-1}\) taki, że

\(\displaystyle{ w(x_i)=y_i,\quad w'(x_i)=z_i,\qquad i=1,\dots,n}\)

Ogólniej można zażądać interpolacji z większą liczbą pochodnych i niekoniecznie tyle samo w każdym węźle. Np.

\(\displaystyle{ w(1)=2,\quad w(2)=0,\;w'(2)=-1,\quad w(3)=1,\;w'(3)=-3,\;w''(3)=4}\)

Wielomian \(\displaystyle{ w}\) spełniający akurat te powyższe warunki jest stopnia \(\displaystyle{ \le 5.}\) Tego typu wielomiany też nazywa się wielomianami Hermite'a. O interpolacji Hermite'a mówimy wtedy, gdy mamy do czynienia z węzłami wielokrotnymi.

[Łukasz_1989]

Trudno, wróćmy więc może na chwilę do krzywej Beziera a do krzywej Hermite`a może ktoś inny się zgłosi.
Wiesz jak uogólnić równanie parametryczne dla n punktów kontrolnych przy krzywej Beziera?

I wracając do tych równań we wskazanym wątku:

Kod: Zaznacz cały

    x(t) = (1- t)3 x1 + 3t (1- t)2 x2 + 3t2 (1- t) x3 + t3 x4

    y(t) = (1- t)3 y1 + 3t (1- t)2 y2 + 3t2 (1- t) y3 + t3 y4

Czy te liczby za "(1-t)" i przy parametrze t nie powinny być w indeksach górnych (jako wykładniki potęgi)?
Czyli dla pierwszego równania np. nie powinno być:
\(\displaystyle{ x(t)=(1-t)^{3} x_1 + 3t(1-t)^2{} x_2 + 3t^{2} (1-t)x_3 + t^{3} x_4}\)
?
Taki wzór wydawałby się bardziej sensowny i już chyba wiedziałbym jak go uogólnić do przypadku n

[szw1710]

Nie, jest tak jak napisałeś.

Co do krzywych Beziera moja wiedza opiera się na podobnym opisie. Naukowo ich nie badałem. A więc nie drążyłem tego dokładniej. Jednak poszperaj po internecie. Gdzieś takie uogólnienie na więcej punktów kontrolnych na pewno widziałem.