Pierwiastek dwukrotny i nierówność...

niestabilny · Post autor: **niestabilny** » 8 lut 2012, o 21:16

Wiedząc, że liczba 3 jest pierwiastkiem dwukrotnym wielomianu \(\displaystyle{ W(x)=x^{4}-5x^{3}+9x^{2}+ax+b}\) rozwiąż nierówność\(\displaystyle{ W(x)>0}\)

Mam postać \(\displaystyle{ (x-3)^{2}(x-c)(x-d)}\) i to po wymnożeniu da \(\displaystyle{ x^{4}+(-6-c-d)x^{3}+(9+6c+6d+cd)x^{2}+(-9c-9d-6cd)x+9cd}\).

Teraz mam układ równań:
\(\displaystyle{ -6-c-d=-5}\)
\(\displaystyle{ 9+6c+6d+cd=9}\)

\(\displaystyle{ c=-1-d}\)
\(\displaystyle{ 6c+6d+cd=0}\)

Układ ten się nie chce roziązać (delta wychodzi mniejsza od zera. CO robię źle, gdzie jest błąd i czy istnieje szybsza metoda obliczenia wspolczynnikow a i b. Proszę o pomoc.

tatteredspire · Post autor: **tatteredspire** » 8 lut 2012, o 21:18

Liczba \(\displaystyle{ a}\) jest pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ W}\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ W(a)=0}\) - reszta nie powinna być liniowa? Zapisujesz swój wielomian jako \(\displaystyle{ Q(x) \cdot (x-3)^2+ex+f}\).

PS: Skąd wiesz, że ten wielomian ma 4 pierwiastki skoro nie masz to napisane?

niestabilny · Post autor: **niestabilny** » 8 lut 2012, o 21:25

Ok, ale tą metodą, którą ja proponuję, też powinno wyjść a nie chce i nie mogę znaleźć błędu.

tatteredspire · Post autor: **tatteredspire** » 8 lut 2012, o 21:27

niestabilny pisze:Mam postać \(\displaystyle{ (x-3)^{2}(x-c)(x-d)}\) i to po wymnożeniu da \(\displaystyle{ x^{4}+(-6-c-d)x^{3}+(9+6c+6d+cd)x^{2}+(-9c-9d-6cd)x+9cd}\).

Dlaczego taką postać? Wiesz, że będą 4 pierwiastki?

PS: Przepraszam za edycję, ale coś mi internet wolno chodzi.

niestabilny · Post autor: **niestabilny** » 8 lut 2012, o 21:29

Czyli tym sposobem nie można tego robić?

tatteredspire · Post autor: **tatteredspire** » 8 lut 2012, o 21:30

Sposób jest podobny, ale bardziej ogólny. Zapisujesz ogólnie \(\displaystyle{ W(x)=Q(x) \cdot (x-3)^2 + ex +d}\) (z twierdzenia o reszcie przy dzieleniu wielomianów)

PS: Tam powinno być 3 pierwiastki (jeden dwukrotny).

niestabilny · Post autor: **niestabilny** » 8 lut 2012, o 21:33

Ok. Dziękuję. Tylko mając to równanie \(\displaystyle{ W(x)=Q(x) \cdot (x-3)^2 + ex +d}\) co dalej?

tatteredspire · Post autor: **tatteredspire** » 8 lut 2012, o 21:37

Hm, wygląda na to, że ten układ jest nieoznaczony. Będzie to nierówność z jednym parametrem (b wyrażasz od a bądź odwrotnie), najwyraźniej... Tamto niepotrzebne z tym \(\displaystyle{ Q}\).

niestabilny · Post autor: **niestabilny** » 8 lut 2012, o 21:40

W odpowiedziach nierównosc jest od -1, wiec-1 bedzie innym pierwiastkeim tego wielomianu...

tatteredspire · Post autor: **tatteredspire** » 8 lut 2012, o 21:46

Ciekaw jestem jak wyznaczyli wartość jednego parametru. Nie mam na to pomysłu, przepraszam. Chyba, że coś jest nie tak z tym zadaniem.

major37 · Post autor: **major37** » 8 lut 2012, o 21:48

ciekawa jest ta odpowiedź jak wykres będziemy zaczynali od góry z prawej strony

tatteredspire · Post autor: **tatteredspire** » 8 lut 2012, o 21:52

major37 pisze:ciekawa jest ta odpowiedź jak wykres będziemy zaczynali od góry z prawej strony

Jest pierwiastek podwójny więc odbijamy, ale nie wiem skąd to \(\displaystyle{ -1}\).

niestabilny · Post autor: **niestabilny** » 8 lut 2012, o 21:52

Nie w odpowiedziach jest od -nieskończoności, do -1 (chodziło mi głównie o to żeby zaznaczyć, ze -1 będzie pierwiastkiem}. Nie wiem, ale mój sposób mi się wydaje logiczny, teoretycznie powinien wyjść, ale układ się nie chce rozwiązać...

Lothmel · Post autor: **Lothmel** » 8 lut 2012, o 21:54

\(\displaystyle{ W_{(x)}=(x^{2}-6x+9)(x^{2}+dx+c)=x^{4}-(6-d)x^{3}+(9-6d+c)x^{2}+(d-6c)x+9c}\)
Rozwiązuje to kwestię czy wielomian ma więcej niż 2 pierwiastki.
Wtedy a=-35, b=54.
Jeżeli znasz pochodne to:
\(\displaystyle{ W_{(3)}=0}\) i \(\displaystyle{ W'_{(3)}=0}\)
\(\displaystyle{ W'_{(x)}=4x^{3}-15x^{2}+18x+a}\)

niestabilny · Post autor: **niestabilny** » 8 lut 2012, o 21:57

Bez pochodnych to też się musi dać rozwiązać