Wielomian wykazywanie

dwukwiat15 · Post autor: **dwukwiat15** » 10 lut 2007, o 22:04

Wykaż, że jeżeli wielomian \(\displaystyle{ W(x)= x^{3} + ax + b}\) ma pierwiastek dwukrotny, to \(\displaystyle{ 4a^{3} + 27b^{2} = 0}\)

sztuczne zęby · Post autor: **sztuczne zęby** » 10 lut 2007, o 22:15

Zapisz wielomian w postaci:
\(\displaystyle{ W(x)=(x-q)(x-p)^2}\).
I porównaj współczynniki. Wszystko ładnie wychodzi.

bisz · Post autor: **bisz** » 10 lut 2007, o 22:50

\(\displaystyle{ (x-q)(x-p)^2={x}^{3}+ ft( -q-2\,p \right) {x}^{2}+ ft( 2\,qp+{p}^{2} \right) x-q{p}^{2}}\)
wiec
\(\displaystyle{ a= 2qp+p^2}\)
\(\displaystyle{ b=-qp^2}\)
a to podstawiajac do \(\displaystyle{ 4a^3+27b^2=32\,{q}^{3}{p}^{3}+75\,{q}^{2}{p}^{4}+24\,q{p}^{5}+4\,{p}^{6}}\)
moznaby tu skorzystac z tego ze \(\displaystyle{ -q-2p=0}\)
i podstawiajac \(\displaystyle{ q=-2p}\) do powyzszego wychodzi ze sie zeruje