Nietypowe równanie z wykładnikiem niecałkowitym

[Robertolog]

Jeśli takie zadanie lub podobnego typu było na forum to prosiłbym o link.
Umiem liczyć równania liniowe, kwadratowe, wielomianowe, wymierne i wiele innych, ale jeszcze nie spotkałem się z równaniem o postaci:
\(\displaystyle{ x^{e}+x=3}\)
Bardzo mnie to zaabsorbowało. Może wie ktoś jak się za to zabrać? W miejscu \(\displaystyle{ e}\) może być dowolny ułamek.

[HaveYouMetTed]

dowolny to bardzo szerokie pojęcie. Trzeba będzie zacząć od wyznaczenia dziedziny.

Załóżmy że mamy już wyznaczoną dziedzinę, przejdźmy do sedna sprawy.

\(\displaystyle{ x^{\frac{n}{m}}+x=3 \\
\sqrt[m]{x^{n}}=3-x \\}\)

no i ja w tym momencie podniósłbym do obie strony do potęgi \(\displaystyle{ m}\).

\(\displaystyle{ x^{n}=(3-x)^{m}}\)

Dwumian należałoby rozpisać, całośc pogrupować i coś popróbować.

Ale to równanie jest zbyt ogólne. Zawsze można coś zauważyć i trochę sobi poupraszczać a w tym przypadku nie za bardzo.

[Robertolog]

Rozpiszmy \(\displaystyle{ (3-x)^{m}}\). Z Dwumianu Newtona będzie to:
\(\displaystyle{ (3-x)^{m}= \binom{m}{0}3^m + \binom{m}{1} 3^{m-1}(-x) + \binom{m}{2} x^{m-2}(-x)^2 + \binom{m}{3}x^{m-3}(-x)^3 + \dots + \binom{m}{m}(-x)^m}\)
To z kolei przenosząc na stronę lewą powoduje, że otrzymamy zwykły wielomian:
\(\displaystyle{ x^{n} + \binom{m}{0}3^m + \binom{m}{1} 3^{m-1}(-x) + \binom{m}{2} x^{m-2}(-x)^2 + \binom{m}{3}x^{m-3}(-x)^3 + \dots + \binom{m}{m}(-x)^m=0}\)
I teraz w zależności od tego jak się ma \(\displaystyle{ n}\) do \(\displaystyle{ m}\) uproszczamy wyrażenie. Dzięki wielkie, teraz już wszystko wiem

Jednak nie wiem. Co zrobić gdyby było więcej ułamków w zadaniu
\(\displaystyle{ x^{ \frac{3}{4} } - x^{ \frac{1}{3} } + x - 3 = 0}\) ? Tu już nie idzie zastosować tej metody co podałeś.