udowodnij że wielomian ..

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
Awatar użytkownika
dwukwiat15
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 246
Rejestracja: 4 cze 2006, o 09:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Krobia
Podziękował: 42 razy

udowodnij że wielomian ..

Post autor: dwukwiat15 »

Dany jest wielomian \(\displaystyle{ W(x) = 2x^{3} + x + 1}\)
a) uzasadnij żę wielomian W(x) nie ma dodatnich pierwiastków
b) uzasadnij że wielomian W(X) nie ma pierwiastkow wymiernych
Awatar użytkownika
Piotrek89
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1051
Rejestracja: 8 paź 2006, o 16:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Górowo Iławeckie
Pomógł: 278 razy

udowodnij że wielomian ..

Post autor: Piotrek89 »

pierwiastkow szukamy wsrod dzielnikow \(\displaystyle{ \frac {1}{2}}\)

wiec:
+/- 1
+/- \(\displaystyle{ \frac {1}{2}}\)

w(1)=
w(-1)=
\(\displaystyle{ w(\frac {1}{2})=}\)
\(\displaystyle{ w(-\frac {1}{2})=}\)

i sprawdzamy
Awatar użytkownika
Tristan
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2353
Rejestracja: 24 kwie 2005, o 14:28
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 27 razy
Pomógł: 557 razy

udowodnij że wielomian ..

Post autor: Tristan »

a) Gdyby \(\displaystyle{ \mathbb{R}_{+} \ni a}\) było pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ W}\), to zachodziłaby równość \(\displaystyle{ W(a)=0}\). Jednak \(\displaystyle{ W(a)=2a^3+a+1>1}\), bo z założenia \(\displaystyle{ a>0}\), więc również \(\displaystyle{ 2a^3 >0}\). Oznacza to, że nasz wielomian nie ma dodatnich pierwiastków.
b) Na podstawie twierdzenia o wymiernych pierwiastkach wielomianu o współczynnikach całkowitych wiemy, że jeśli wielomian \(\displaystyle{ W}\) posiada pierwiastki wymierne, to są one postaci: \(\displaystyle{ 1,-1, \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}}\). Jednak łatwo sprawdzić, że żadna z tych liczb nie jest pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ W}\), więc wielomian ten nie posiada żadnych pierwiastków wymiernych.
ODPOWIEDZ