Dany jest wielomian \(\displaystyle{ W(x) = 2x^{3} + x + 1}\)
a) uzasadnij żę wielomian W(x) nie ma dodatnich pierwiastków
b) uzasadnij że wielomian W(X) nie ma pierwiastkow wymiernych
udowodnij że wielomian ..
- dwukwiat15
- Użytkownik
- Posty: 246
- Rejestracja: 4 cze 2006, o 09:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Krobia
- Podziękował: 42 razy
- Piotrek89
- Użytkownik
- Posty: 1051
- Rejestracja: 8 paź 2006, o 16:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Górowo Iławeckie
- Pomógł: 278 razy
udowodnij że wielomian ..
pierwiastkow szukamy wsrod dzielnikow \(\displaystyle{ \frac {1}{2}}\)
wiec:
+/- 1
+/- \(\displaystyle{ \frac {1}{2}}\)
w(1)=
w(-1)=
\(\displaystyle{ w(\frac {1}{2})=}\)
\(\displaystyle{ w(-\frac {1}{2})=}\)
i sprawdzamy
wiec:
+/- 1
+/- \(\displaystyle{ \frac {1}{2}}\)
w(1)=
w(-1)=
\(\displaystyle{ w(\frac {1}{2})=}\)
\(\displaystyle{ w(-\frac {1}{2})=}\)
i sprawdzamy
- Tristan
- Użytkownik
- Posty: 2353
- Rejestracja: 24 kwie 2005, o 14:28
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 27 razy
- Pomógł: 557 razy
udowodnij że wielomian ..
a) Gdyby \(\displaystyle{ \mathbb{R}_{+} \ni a}\) było pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ W}\), to zachodziłaby równość \(\displaystyle{ W(a)=0}\). Jednak \(\displaystyle{ W(a)=2a^3+a+1>1}\), bo z założenia \(\displaystyle{ a>0}\), więc również \(\displaystyle{ 2a^3 >0}\). Oznacza to, że nasz wielomian nie ma dodatnich pierwiastków.
b) Na podstawie twierdzenia o wymiernych pierwiastkach wielomianu o współczynnikach całkowitych wiemy, że jeśli wielomian \(\displaystyle{ W}\) posiada pierwiastki wymierne, to są one postaci: \(\displaystyle{ 1,-1, \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}}\). Jednak łatwo sprawdzić, że żadna z tych liczb nie jest pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ W}\), więc wielomian ten nie posiada żadnych pierwiastków wymiernych.
b) Na podstawie twierdzenia o wymiernych pierwiastkach wielomianu o współczynnikach całkowitych wiemy, że jeśli wielomian \(\displaystyle{ W}\) posiada pierwiastki wymierne, to są one postaci: \(\displaystyle{ 1,-1, \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}}\). Jednak łatwo sprawdzić, że żadna z tych liczb nie jest pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ W}\), więc wielomian ten nie posiada żadnych pierwiastków wymiernych.