Wyznacz parametry p i q
- Cudi29
- Użytkownik
- Posty: 78
- Rejestracja: 10 maja 2009, o 14:20
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Brok/Białystok
- Podziękował: 64 razy
- Pomógł: 2 razy
Wyznacz parametry p i q
Wyznacz parametry \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\), dla których liczba \(\displaystyle{ x _{0}}\) jest dwukrotnym pierwiastkiem równania.
\(\displaystyle{ x ^{3} -2x ^{2} +px+q=0}\), \(\displaystyle{ x _{0} =1}\).
Szczerze to nawet nie wiem z której strony się za to zabrać, bo moja "cudowna" nauczycielka od matmy zapomniała to przerobić. Mógłby ktoś mnie naprowadzić i wyjaśnić co i jak?
\(\displaystyle{ x ^{3} -2x ^{2} +px+q=0}\), \(\displaystyle{ x _{0} =1}\).
Szczerze to nawet nie wiem z której strony się za to zabrać, bo moja "cudowna" nauczycielka od matmy zapomniała to przerobić. Mógłby ktoś mnie naprowadzić i wyjaśnić co i jak?
-
- Użytkownik
- Posty: 5018
- Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 459 razy
- Pomógł: 912 razy
Wyznacz parametry p i q
\(\displaystyle{ (x-1)^2(x+b)=0}\) gdzie \(\displaystyle{ b \neq -1}\)
Wymnóż i porównaj współczynniki.
Można też z pochodnej.
Wymnóż i porównaj współczynniki.
Można też z pochodnej.
-
- Użytkownik
- Posty: 844
- Rejestracja: 19 lis 2009, o 15:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 121 razy
- Pomógł: 156 razy
Wyznacz parametry p i q
Skoro \(\displaystyle{ x_0 = 1}\) jest dwukrotnym pierwiastkiem równania to wielomian ten jest podzielny przez \(\displaystyle{ (x-1)^2 = x^2 -2x +1}\)
Czyli możemy go zapisać jako \(\displaystyle{ (x^2 -2x +1)(x+a)}\), \(\displaystyle{ a \neq 1}\) Przemnóż przez siebie i porównaj współczynniki. Dostaniesz w ten sposób wartości parametrów.
EDIT: Kolega mnie uprzedził
Czyli możemy go zapisać jako \(\displaystyle{ (x^2 -2x +1)(x+a)}\), \(\displaystyle{ a \neq 1}\) Przemnóż przez siebie i porównaj współczynniki. Dostaniesz w ten sposób wartości parametrów.
EDIT: Kolega mnie uprzedził
-
- Użytkownik
- Posty: 5018
- Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 459 razy
- Pomógł: 912 razy
Wyznacz parametry p i q
To jest trzecie miejsce zerowe, którego nie znamy. Po prostu wymnóż i porównaj współczynniki.
-
- Użytkownik
- Posty: 844
- Rejestracja: 19 lis 2009, o 15:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 121 razy
- Pomógł: 156 razy
Wyznacz parametry p i q
Jeśli \(\displaystyle{ a}\) jest pierwiastkiem wielomianu to wielomian ten jest podzielny przez \(\displaystyle{ x-a}\)
Czyli jeśli wielomian W(x) ma pierwiastki: 2,3,4 to możemy go zapisać jako \(\displaystyle{ (x-2)(x-3)(x-4)}\)
Jeśli pierwiastek jest wielokrotny podnosimy ten nawias do kwadratu czyli gdy \(\displaystyle{ a}\) jest pierwiastkiem dwukrotnym to wielomian jest podzielny przez \(\displaystyle{ (x-a)^2}\)
Czyli przechodząc konkretnie do naszego wielomianu:
\(\displaystyle{ (x^2 -2x +1)(x+a)=x ^{3} -2x ^{2} +px+q}\)
\(\displaystyle{ x^3+ax^2-2x^2-2ax+x+a=x ^{3} -2x ^{2} +px+q}\)
\(\displaystyle{ x^3+x^2(a-2)+x(-2a+1)+a=x ^{3} -2x ^{2} +px+q}\)
Wielomiany są sobie równe gdy ich współczynniki przy odpowiednich potęgach są sobie równe. Stąd:
\(\displaystyle{ a-2=-2 \Rightarrow a=0}\)
\(\displaystyle{ -2a+1=p \Rightarrow p=1}\)
\(\displaystyle{ a=q \Rightarrow q=0}\)
Więc rozwiązaniem są parametry:
\(\displaystyle{ \begin{cases} p=1 \\ q=0 \end{cases}}\)
Czyli jeśli wielomian W(x) ma pierwiastki: 2,3,4 to możemy go zapisać jako \(\displaystyle{ (x-2)(x-3)(x-4)}\)
Jeśli pierwiastek jest wielokrotny podnosimy ten nawias do kwadratu czyli gdy \(\displaystyle{ a}\) jest pierwiastkiem dwukrotnym to wielomian jest podzielny przez \(\displaystyle{ (x-a)^2}\)
Czyli przechodząc konkretnie do naszego wielomianu:
\(\displaystyle{ (x^2 -2x +1)(x+a)=x ^{3} -2x ^{2} +px+q}\)
\(\displaystyle{ x^3+ax^2-2x^2-2ax+x+a=x ^{3} -2x ^{2} +px+q}\)
\(\displaystyle{ x^3+x^2(a-2)+x(-2a+1)+a=x ^{3} -2x ^{2} +px+q}\)
Wielomiany są sobie równe gdy ich współczynniki przy odpowiednich potęgach są sobie równe. Stąd:
\(\displaystyle{ a-2=-2 \Rightarrow a=0}\)
\(\displaystyle{ -2a+1=p \Rightarrow p=1}\)
\(\displaystyle{ a=q \Rightarrow q=0}\)
Więc rozwiązaniem są parametry:
\(\displaystyle{ \begin{cases} p=1 \\ q=0 \end{cases}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 844
- Rejestracja: 19 lis 2009, o 15:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 121 razy
- Pomógł: 156 razy
Wyznacz parametry p i q
Nie ma sprawy, jakby co zainteresuj się twierdzeniem Bézouta - to jest wlasnie z tym dzieleniem wielomianu i pierwiastkiem