Wyznacz parametry p i q

[Cudi29]

Wyznacz parametry \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\), dla których liczba \(\displaystyle{ x _{0}}\) jest dwukrotnym pierwiastkiem równania.
\(\displaystyle{ x ^{3} -2x ^{2} +px+q=0}\), \(\displaystyle{ x _{0} =1}\).

Szczerze to nawet nie wiem z której strony się za to zabrać, bo moja "cudowna" nauczycielka od matmy zapomniała to przerobić. Mógłby ktoś mnie naprowadzić i wyjaśnić co i jak?

[kamil13151]

\(\displaystyle{ (x-1)^2(x+b)=0}\) gdzie \(\displaystyle{ b \neq -1}\)

Wymnóż i porównaj współczynniki.

Można też z pochodnej.

[pawellogrd]

Skoro \(\displaystyle{ x_0 = 1}\) jest dwukrotnym pierwiastkiem równania to wielomian ten jest podzielny przez \(\displaystyle{ (x-1)^2 = x^2 -2x +1}\)

Czyli możemy go zapisać jako \(\displaystyle{ (x^2 -2x +1)(x+a)}\), \(\displaystyle{ a \neq 1}\) Przemnóż przez siebie i porównaj współczynniki. Dostaniesz w ten sposób wartości parametrów.

EDIT: Kolega mnie uprzedził

[Cudi29]

A skąd się wzięło te \(\displaystyle{ (x+b)}\) lub \(\displaystyle{ (x+a)}\)? I co mam z tą niewiadomą zrobić?

[kamil13151]

To jest trzecie miejsce zerowe, którego nie znamy. Po prostu wymnóż i porównaj współczynniki.

[pawellogrd]

Jeśli \(\displaystyle{ a}\) jest pierwiastkiem wielomianu to wielomian ten jest podzielny przez \(\displaystyle{ x-a}\)

Czyli jeśli wielomian W(x) ma pierwiastki: 2,3,4 to możemy go zapisać jako \(\displaystyle{ (x-2)(x-3)(x-4)}\)

Jeśli pierwiastek jest wielokrotny podnosimy ten nawias do kwadratu czyli gdy \(\displaystyle{ a}\) jest pierwiastkiem dwukrotnym to wielomian jest podzielny przez \(\displaystyle{ (x-a)^2}\)

Czyli przechodząc konkretnie do naszego wielomianu:

\(\displaystyle{ (x^2 -2x +1)(x+a)=x ^{3} -2x ^{2} +px+q}\)

\(\displaystyle{ x^3+ax^2-2x^2-2ax+x+a=x ^{3} -2x ^{2} +px+q}\)

\(\displaystyle{ x^3+x^2(a-2)+x(-2a+1)+a=x ^{3} -2x ^{2} +px+q}\)

Wielomiany są sobie równe gdy ich współczynniki przy odpowiednich potęgach są sobie równe. Stąd:

\(\displaystyle{ a-2=-2 \Rightarrow a=0}\)

\(\displaystyle{ -2a+1=p \Rightarrow p=1}\)

\(\displaystyle{ a=q \Rightarrow q=0}\)

Więc rozwiązaniem są parametry:

\(\displaystyle{ \begin{cases} p=1 \\ q=0 \end{cases}}\)

[Cudi29]

Dziękuję Wam ogromnie, już rozumiem

[pawellogrd]

Nie ma sprawy, jakby co zainteresuj się twierdzeniem Bézouta - to jest wlasnie z tym dzieleniem wielomianu i pierwiastkiem