Rozwiąż równanie wielomianowe

[mariach]

Witam mam rozwiązać nast. równanie wielomianowe: x^4+2x^3-8x^2-19x-6=0. Nie da się go rozwiązać przez podstawienie litery 't', ani przez grupowanie i nie da się wyłączyć czynnika przed nawias. Jak to roziwązać?

[florek177]

podstawiaj dzielniki wyrazu wolnego - możesz zacząć od największych.

[kalwi]

użyj latexa następnym razem do równań

\(\displaystyle{ x^{4}+2x^{3}-8x^{2}-19x-6=0}\)

i musisz "zgadnąć" dla jakiego x ta liczba jest równa 0 (tzn. wybrać jedną z liczb całkowitych ilorazu \(\displaystyle{ \frac{p}{q}}\) , która spełnia to równanie, gdzie \(\displaystyle{ p}\) jest dzielnikiem liczby wolnej (bez x - tutaj 6) a \(\displaystyle{ q}\) dzielnikiem liczby przy najwyższej potędze (tu - \(\displaystyle{ x^{4}}\) ). Czyli w naszym przypadku: \(\displaystyle{ p=\{-6;-5;-4;-3;-2;-1;0;1;2;3;4;5;6} \wedge q=\{-1;1}}\)
Jak już znajdziesz taką liczbę (tutaj \(\displaystyle{ -2}\) będzie pasować. I potem stosujesz na przykład schemat Hornera. Sposób w jaki to robisz, jest opisany bardzo dobrze tutaj.

Będzie to wyglądać mniej więcej tak:



czyli już masz jeden pierwiastek -2, drugi 3, i teraz pozostaje do rozwiązania równanie kwadratowe, gdzie używasz delty i koniec.

[mariach]

To tyle to sam zrobiłem. Trzeba podzielić na -2 więc robię tabelkę wpisuje kolejno 1, 2, -8, -19, -6. Potem przepisuję 1 w pierwszą rubrykę i mnożę (-2)*1+2=0, (-2)*0-8=-8, (-2)*(-8)-19=-3, (-2)*(-3)-6=0. I niby dobrze wyszło bo reszta wynosi 0. Potem wiadomo obniżam potęgę o 1 czyli wyjdzie \(\displaystyle{ x^{3}+0x ^{2}-8x-3=0}\) i jak z równania z \(\displaystyle{ x^{3}}\) wyliczyć deltę?

Dołączam zdjęcie

[kalwi]

eh spójrz na moją tabelkę. ja dalej tam ciągnę hornerem, aż dochodzę do \(\displaystyle{ x^{2}+3x+1=0}\)
czyli to do czego doszedles jeszcze raz wez w tabelke, 3 pasuje

[mariach]

jasne, dzieki

[Mariusz M]

\(\displaystyle{ x^{4}+2x^{3}-8x^{2}-19x-6=0\\
x^{4}+2x^{3}+x^{2}-9x^{2}-19x-6=0\\
\left(x^2+x\right)^2-\left( 9x^2+19x+6\right)=0\\
\left(x^2+x+\frac{y}{2}\right)^2-\left( \left( y+9\right)x^2+\left( y+19\right)x+ \frac{y^2}{4}+6 \right) =0\\
\left( y^2+24\right)\left( y+9\right)- \left( y+19\right)^2\\
y^3+9y^2+24y+216-y^2-38y-361=0\\
y^3+8y^2-14y-145=0\\
y^3+5y^2+3y^2+15y-29y-145=0\\
\left( y+5\right)\left( y^2+3y-29\right)=0\\
\left(x^2+x-\frac{5}{2}\right)^2-\left( 4x^2+14x+\frac{49}{4} \right) =0\\
\left(x^2+x-\frac{5}{2}\right)^2-\left( 2x+ \frac{7}{2} \right)^2=0\\
\left( x^2-x-6\right)\left( x^2+3x+1\right)=0}\)