Mam problem z następującym zadaniem:
Niech liczba \(\displaystyle{ t}\) będzie pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ x ^{3}-x+3}\). Znajdź wielomian o współczynnikach wymiernych, którego pierwiastkiem jest liczba \(\displaystyle{ t+ \sqrt{2}}\).
znaleźć wielomian
-
Marien
- Użytkownik
- Posty: 168
- Rejestracja: 25 mar 2011, o 19:09
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 41 razy
- Pomógł: 1 raz
znaleźć wielomian
Ostatnio zmieniony 28 sty 2012, o 23:03 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Temat umieszczony w złym dziale.
Powód: Temat umieszczony w złym dziale.
-
tatteredspire
- Użytkownik
- Posty: 716
- Rejestracja: 2 wrz 2009, o 21:59
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 83 razy
- Pomógł: 74 razy
znaleźć wielomian
\(\displaystyle{ t}\) jest pierwiastkiem jakimkolwiek (możliwie zespolonym) czy ma być rzeczywisty i nie zespolony?
-
Qń
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
znaleźć wielomian
Nietrudno zauważyć, że \(\displaystyle{ t+\sqrt{2}}\) jest pierwiastkiem wielomianu:
\(\displaystyle{ (x-\sqrt{2})^3-(x-\sqrt{2})+3=x^3+5x+3-\sqrt{2}(3x^2+1)}\)
a zatem także wielomianu:
\(\displaystyle{ \left[ x^3+5x+3-\sqrt{2}(3x^2+1)\right] \cdot \left[ x^3+5x+3+\sqrt{2}(3x^2+1)\right]}\)
który, jak widać ze wzoru na różnicę kwadratów, ma już współczynniki wymierne (a nawet całkowite).
Q.
\(\displaystyle{ (x-\sqrt{2})^3-(x-\sqrt{2})+3=x^3+5x+3-\sqrt{2}(3x^2+1)}\)
a zatem także wielomianu:
\(\displaystyle{ \left[ x^3+5x+3-\sqrt{2}(3x^2+1)\right] \cdot \left[ x^3+5x+3+\sqrt{2}(3x^2+1)\right]}\)
który, jak widać ze wzoru na różnicę kwadratów, ma już współczynniki wymierne (a nawet całkowite).
Q.