Równanie dwukwadratowe z parametrem

[Lipek]

1. Dla jakich wartości parametru m równanie \(\displaystyle{ x ^{4}+(m-3)x ^{2}+m ^{2} =0}\) ma cztery różne rozwiązania ?
2. Dla jakich wartości parametru m równanie \(\displaystyle{ x^4+2(m-2)x ^{2}+m ^{2}-1=0}\) ma dwa różne pierwiastki
3. Dla jakich wartości parametru m równanie \(\displaystyle{ x^4+(1-2m)x^2+2m^2+ \frac{1}{4}=0}\) nie ma rozwiązan.

Może mi ktoś wytłumaczyc, jakie powinny byc warunki, zeby takie sytuacje zaistniały \(\displaystyle{ \Delta}\) etc.

Z góry dziękuję za pomoc ;]

[kajus]

za każdym razem podstawiasz \(\displaystyle{ x^2=t}\)
jeśli mają być 4 rozwiązania to poza \(\displaystyle{ \Delta>0}\) rozwiązania równania z \(\displaystyle{ t}\) muszą być dodatnie
jeśli ma nie byc rozwiązań, to moze być \(\displaystyle{ \Delta<0}\) albo \(\displaystyle{ \Delta>0}\) ale oba rozwiązania ujemne \(\displaystyle{ \Delta=0}\) i rozwiązanie ujemne

[Lipek]

cztery rozwiązania:

\(\displaystyle{ \Delta >0 \wedge t _{1} *t _{2} >0 \wedge t _{1}+t _{2}>0}\) z viete'a

dwa rozwiązania:

\(\displaystyle{ \Delta>0 \wedge}\) ?? Co tutaj ?

Brak rozwiązan:

1.\(\displaystyle{ \Delta \ge 0 \wedge t _{1} *t _{2} >0 \wedge t _{1}+t _{2}<0}\)
2.\(\displaystyle{ \Delta <0}\)

[kajus]

dwa rozwiązania dla \(\displaystyle{ x}\) czyli jedno dodatnie dla \(\displaystyle{ t}\) bo \(\displaystyle{ x=t^2}\)
czyli albo \(\displaystyle{ \Delta>0}\) i jeden ujemny pierwiastek albo \(\displaystyle{ \Delta=0}\) i dodatni

[Lipek]

Jeden ujemny pierwiastek ? jak to obliczyc ?

[kajus]

\(\displaystyle{ t_{1} \cdot t_{2}<0}\)

[Lipek]

a \(\displaystyle{ t _{1}+t _{2}}\) nie bierzemy pod uwagę w tym przypadku, tak ?

[kajus]

w tym przypadku nie bierzemy pod uwagę ponieważ może być zarówno dodatnie, jak i ujemne tamten warunek wystarcza

[Lipek]

Ok, wielkie dzięki ;]