Układy równań prowadzące do równań kwadratowych

[Seu]

Ostatnie zadanie z tematu, no i mnie rozłożyło. Gdyby nie te kwadraty, byłoby łatwo. Ma 3 przykłady, ale mnie wystarczy zobaczenie sposobu rozwiązania w jednym, zamieszczę więc najprostszy^^

\(\displaystyle{ \begin{cases} x \cdot y-12=0\\x ^{2}+y ^{2} -25=0\end{cases}}\)

Z góry dziękuję za pomoc.

[mativ73]

Wyznacz z pierwszego równania x albo y, potem podstaw do drugiego i usuń ułamek, następnie wprowadź zmienna pomocniczą \(\displaystyle{ t^{2}}\).

[anna_]

lub
pomnóż pierwsze równanie przez \(\displaystyle{ 2}\), dodaj stronami i zastosuj wzór skróconego mnożenia (obędzie się wtedy bez zmiennej pomocniczej)

[Seu]

Tym pierwszym sposobem poszło, ale drugim... Po zrobieniu tego, co radziłaś, zostałem z \(\displaystyle{ (x+y)^{2} =1}\) i dalej nie mogę ruszyć.

[Majeskas]

Skoro \(\displaystyle{ (x+y)^2=1}\), to \(\displaystyle{ x+y=1 \quad \vee \quad x+y=-1}\).

[Seu]

No dobrze, a co jeśli mam taki przykład? Z podstawieniem \(\displaystyle{ x ^{2}=t}\) nie idzie mi najlepiej, gdzieś się wciska\(\displaystyle{ x ^{3}}\) i koniec...

\(\displaystyle{ \begin{cases} x \cdot y-4=0\\x ^{2}+y ^{2} -2x-2y+1=0\end{cases}}\)

[aalmond]

Podstawienie za \(\displaystyle{ (x+y)}\). Wcześniej skorzystaj ze wzoru skróconego mnożenia.

[Seu]

Ech, czyli jednak jestem tumanem. Wybacz, nie wiem gdzie zastosować ten wzór, a potem to podstawienie...

[aalmond]

\(\displaystyle{ x ^{2}+y ^{2} -2x-2y+1= (x+y)^2 - 2xy - 2(x+y) + 1 = 0}\)

I teraz za \(\displaystyle{ xy}\) wstaw \(\displaystyle{ 4}\) (z pierwszego równania), a za \(\displaystyle{ (x+y)}\) np. \(\displaystyle{ p}\)

[anna_]

Tym pierwszym sposobem poszło, ale drugim... Po zrobieniu tego, co radziłaś, zostałem z \(\displaystyle{ (x+y)^{2} =1}\) i dalej nie mogę ruszyć.

Po dodaniu wyjdzie \(\displaystyle{ (x+y)^2=49}\)