Wielomian- dzielenie bez reszty

qbawolny · Post autor: **qbawolny** » 6 lut 2007, o 21:50

mam takie zadanko z podzielności, które pewnie trzeba zrobić indukcyjnie, ale męczę się już z nim 3 dni i nic... zostawiam dla Was na pożarcie

Wykaż, że dla każdego naturalnego \(\displaystyle{ n qslant 1}\) wielomian \(\displaystyle{ x^{2n+1}-(2n+1)x^{n+1}+(2n+1)x^{n}-1}\) dzieli się bez reszty przez \(\displaystyle{ (x-1)^{3}}\)

Wszystko fajnie ale nie ten dział , mimo wszystko to zadanie z wielomianów Przeniosłem. Uzo

Czesio · Post autor: **Czesio** » 6 lut 2007, o 22:32

Skorzystaj z twierdzenia, że: Jeżeli a jest k-krotnym pierwiastkiem wielomianu P(x), to a jest pierwiastkiem wielomianów \(\displaystyle{ P'(x),P''(x),..,P^{(k-1)}(x)}\)

qbawolny · Post autor: **qbawolny** » 7 lut 2007, o 16:34

no okej policzyłem pierwsza i druga pochodna, i faktycznie ich pierwiastkiem jest 1
czy to wystarczajacy dowod jest juz?
tzn. bo tu np. jest napisane: "Jeśli a jest k-krotnym pierwiastkiem wielomianu to"
a nie wtedy i tylko wtedy - tzn. czy to ze 1 jest pierwiastkiem tych pochodnych wielomianow implikuje to ze jest pierwiastkiem k-krotnym tego wielomianu?

Czesio · Post autor: **Czesio** » 9 lut 2007, o 11:23

Sprawdziłem, w Pawłowskim "Kólko dla olimpijczyka" twierdzenie jest podane w dwie strony.

Dokładnie wygląda tak:

a jest n-krotnym pierwiastkiem wielomianu P(x) wtedy i tylko wtedy, gdy:
\(\displaystyle{ P^{(k)}(a)=0 \ k=0,1,2,...,n-1}\) oraz \(\displaystyle{ P^{(n)}(a)\neq0}\)