Wielomiany - obliczenie i dziedzina

[Seu]

Pierwszy przykład wygląda tak:
Wydaje się łatwy, a i tak nie wiem jak wyznaczyć \(\displaystyle{ m}\), na pewno,\(\displaystyle{ m=3}\), ale chodzi o to, by to pokazać.
\(\displaystyle{ m ^{3} \cdot (-2)^{3}+ m^{2} \cdot (-2) ^{2}+mx+1=-185}\)


Drugi przykład polega na wyznaczeniu dziedziny i uproszczeniu wyrażenia:
\(\displaystyle{ \frac{1}{x ^{1,5}-1}:\frac{x ^{\frac{1}{2}}+1}{x+x ^{\frac{1}{2}} +1}}\)

Jeszcze jeden przykład, z innego zadania...
Podaj taką wartość \(\displaystyle{ m}\), aby dziedziną wyrażenia był zbiór wszystkich liczb rzeczywistych:
Próbowałem obliczyć deltę, aby zobaczyć dla jakiej wartości parametru jest ona mniejsza od zera, ale to nie o to chodziło, wynik wychodził zły. Powinno być \(\displaystyle{ m<1}\).

\(\displaystyle{ \frac{2-3x}{x ^{2}+1-m}}\)

Z góry dziękuję za pomoc.

[DjFlash]

Nie bardzo wiem co nalezy zrobic w pierwszym przykładzie, chyba, że miało tam być podłozone za \(\displaystyle{ x = -2}\)? Bo chyba tak to równanie powstaje...

2)
Dziedzina:
\(\displaystyle{ x>0}\),
\(\displaystyle{ x^{ \frac{1}{2} }+1 \neq 0 \Leftrightarrow x \in \emptyset}\),
\(\displaystyle{ {x+x ^{\frac{1}{2}} +1} \neq 0 \Leftrightarrow x \in \emptyset}\),
\(\displaystyle{ x ^{1,5}-1\neq 0 \Leftrightarrow x \neq 1}\).

Co do rozwiazania to zauważ, że mamy tu do czyznienia ze wzorem na różnicę sześcianu
\(\displaystyle{ x ^{1,5}-1=(x ^{\frac{1}{2}}-1}) \cdot ({x+x ^{\frac{1}{2}} +1)}\).

Poźniej można użyć ewentualnie jeszcze jednego wzoru skróconego mnożenia.

To myslę, że powinno juz Ci całkowicie pomóc.

3)
Tutaj mozna na dwa sposoby. Z delty jednak wychodzi, więc pytanie jak to liczyłeś, że Ci nie wyszło?

Ja jednak sugeruję zauważyc poprostu, że jeśli
\(\displaystyle{ 1-m>0}\)
to
\(\displaystyle{ \forall x \in \mathbb{R}}\) \(\displaystyle{ x ^{2}+1-m > 0}\)

[Seu]

Zadanie drugie faktycznie zrobiłem, dziękuję.

Pierwsze wygląda tak:
Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ m \neq 0}\) reszta z dzielenia wielomianu
\(\displaystyle{ m^{3}x ^{3}+ m ^{2} x ^{2} +mx+1}\) przez dwumian \(\displaystyle{ x+2}\) jest równa \(\displaystyle{ -185}\).


Trzecie liczyłem w ten sposób:
Skoro dziedzina ma być zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, to delta z \(\displaystyle{ x ^{2}+1-m}\) ma być mniejsza niż \(\displaystyle{ 0}\), zgadza się?
Delta wynosi więc \(\displaystyle{ 1+4m}\).
Dalej \(\displaystyle{ 4m<1}\)
\(\displaystyle{ m< \frac{1}{4}}\)
A ma wyjść \(\displaystyle{ m<1}\)

Prosiłbym też o wyjaśnienia (słowne), bo nie zawsze mogę się połapać, co jest co...

[anna_]

\(\displaystyle{ W(x)=m^{3}x ^{3}+ m ^{2} x ^{2} +mx+1}\)
i liczysz
\(\displaystyle{ W(-2)=-185}\)

Wyszło mi \(\displaystyle{ m=3}\)

[Seu]

Liczyłem (nawet chciałem pokazać jak, ale dostałem ostrzeżenie, bo to był obrazek), ale na żadne skarby nie mogłem doprowadzić równania do końca...

Mogłabyś pokazać swoje obliczenia?

[DjFlash]

Delta wynosi \(\displaystyle{ -4(1-m)}\).

Zobacz ze nie ma wyrazu z \(\displaystyle{ x}\).

[anna_]

\(\displaystyle{ - 8m^3 + 4m^2 - 2m + 1=-185}\)
\(\displaystyle{ - 8m^3 + 4m^2 - 2m + 186=0}\)
\(\displaystyle{ - 4m^3 + 2m^2 - m + 93=0}\)
\(\displaystyle{ 3}\) jest pierwiastkiem
\(\displaystyle{ (m-3)(- 4m^2 - 10m - 31)=0}\)

Trójmian kwadratowy pierwiastków nie ma


A tamtą deltę to nie mam pojęcia skąd wytrzasnąłeś. Przecież to nie jest równanie kwadratowe. Poza tym podałeś, że odpowiedź to \(\displaystyle{ m<1}\). Skąd ją masz?

[Seu]

Delta wynosi \(\displaystyle{ -4(1-m)}\).

Zobacz ze nie ma wyrazu z \(\displaystyle{ x}\).

Tutaj robiłem błąd! Dzięki wielkie^^

A tamtą deltę to nie mam pojęcia skąd wytrzasnąłeś. Przecież to nie jest równanie kwadratowe. Poza tym podałeś, że odpowiedź to \(\displaystyle{ m<1}\). Skąd ją masz?

W odpowiedziach, z tyłu książki.

Dziękuję za rozwiązanie:] Zawsze mam problem z rozłożeniem na czynniki...

[anna_]

Sprawdziłam rachunkowo, dla \(\displaystyle{ m=3}\)reszta jest równa \(\displaystyle{ -185}\), więc odpowiedź z książki jest błędna

[Seu]

Może niechcący wprowadziłem Cię w błąd. W tym przykładzie, który zrobiłaś, rzeczywiście \(\displaystyle{ m=3}\). Natomiast \(\displaystyle{ m<1}\) jest w tym ostatnim zadaniu.