Mam dwa przykłady, z którymi sobie nie radzę:
a) znaleźć resztę z dzielenia \(\displaystyle{ x^{30} + 3 x^{14} +2}\) przez \(\displaystyle{ x^3 +1}\)
Zapisuję to w postaci:
\(\displaystyle{ x^{30} + 3 x^{14} +2 = W(x) \cdot (x^3 +1) + ax^2 + bx + c}\)
Znajduję pierwiastki dzielnika: \(\displaystyle{ -2, \frac{1}{2}+ \frac{ \sqrt{3} }{2}i, \frac{1}{2}- \frac{ \sqrt{3} }{2}i}\)
Podstawiam, rozwiązuję układ i wychodzi nie tak jak w odpowiedziach. Pokażcie, jeśli możecie, jak wygląda układ równań po podstawieniu - może źle podstawiam?
b) \(\displaystyle{ x^5 +x-2}\) przez \(\displaystyle{ x^2 -2x +5}\)
Pierwiastki: \(\displaystyle{ 1-2i, 1+2i}\)
Też nie wychodzi, proszę o układ
Reszta z dzielenia wielomianów
-
- Użytkownik
- Posty: 716
- Rejestracja: 2 wrz 2009, o 21:59
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 83 razy
- Pomógł: 74 razy
Reszta z dzielenia wielomianów
\(\displaystyle{ x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)=(x+1)\left(x-\frac{1-\sqrt{3}i}{2}\right)\left(x-\frac{x+\sqrt{3}i}{2}\right)}\) stąd
\(\displaystyle{ x^{30} + 3 x^{14} +2 = W(x) \cdot (x+1)\left(x-\frac{1-\sqrt{3}i}{2}\right)\left(x-\frac{1+\sqrt{3}i}{2}\right) + ax^2 + bx + c}\)
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} 1+3+2=a-b+c\\ \left(\frac{1-\sqrt{3}i}{2}\right)^{30}+\left(\frac{1-\sqrt{3}i}{2}\right)^{14}+2=a\left(\frac{1-\sqrt{3}i}{2}\right)^{2}+b\left(\frac{1-\sqrt{3}i}{2}\right)+c\\ \left(\frac{1+\sqrt{3}i}{2}\right)^{30}+\left(\frac{1+\sqrt{3}i}{2}\right)^{14}+2=a\left(\frac{1+\sqrt{3}i}{2}\right)^{2}+b\left(\frac{1+\sqrt{3}i}{2}\right)+c \end{array} \Leftrightarrow \\ \left\{\begin{array}{l} a=\frac{5}{3}\\b=-\frac{2}{3}\\c=\frac{11}{3} \end{array}}\)
Warto to rozwiązywać w ten sposób, że dodajesz odpowiednie równania stronami - dość efektywny sposób. No i oczywiście wzór de Moivre'a.
Podobnie drugie:
\(\displaystyle{ x^5+x-2=W(x) \cdot (x-1+2i)(x-1-2i)+ax+b}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} (1+2i)^5+1+2i-2=a(1+2i)+b\\(1-2i)^2+1-2i-2=a(1-2i)+b \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a=18\\b=22\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ x^{30} + 3 x^{14} +2 = W(x) \cdot (x+1)\left(x-\frac{1-\sqrt{3}i}{2}\right)\left(x-\frac{1+\sqrt{3}i}{2}\right) + ax^2 + bx + c}\)
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} 1+3+2=a-b+c\\ \left(\frac{1-\sqrt{3}i}{2}\right)^{30}+\left(\frac{1-\sqrt{3}i}{2}\right)^{14}+2=a\left(\frac{1-\sqrt{3}i}{2}\right)^{2}+b\left(\frac{1-\sqrt{3}i}{2}\right)+c\\ \left(\frac{1+\sqrt{3}i}{2}\right)^{30}+\left(\frac{1+\sqrt{3}i}{2}\right)^{14}+2=a\left(\frac{1+\sqrt{3}i}{2}\right)^{2}+b\left(\frac{1+\sqrt{3}i}{2}\right)+c \end{array} \Leftrightarrow \\ \left\{\begin{array}{l} a=\frac{5}{3}\\b=-\frac{2}{3}\\c=\frac{11}{3} \end{array}}\)
Warto to rozwiązywać w ten sposób, że dodajesz odpowiednie równania stronami - dość efektywny sposób. No i oczywiście wzór de Moivre'a.
Podobnie drugie:
\(\displaystyle{ x^5+x-2=W(x) \cdot (x-1+2i)(x-1-2i)+ax+b}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} (1+2i)^5+1+2i-2=a(1+2i)+b\\(1-2i)^2+1-2i-2=a(1-2i)+b \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a=18\\b=22\end{cases}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 716
- Rejestracja: 2 wrz 2009, o 21:59
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 83 razy
- Pomógł: 74 razy
Reszta z dzielenia wielomianów
No tak, oczywiście mój błąd rachunkowy, przepraszam.
\(\displaystyle{ x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)=(x+1)\left(x-\frac{1-\sqrt{3}i}{2}\right)\left(x-\frac{x+\sqrt{3}i}{2}\right)}\) stąd
\(\displaystyle{ x^{30} + 3 x^{14} +2 = W(x) \cdot (x+1)\left(x-\frac{1-\sqrt{3}i}{2}\right)\left(x-\frac{1+\sqrt{3}i}{2}\right) + ax^2 + bx + c}\)
Zamieniając na postać trygonometryczną mamy:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i=\cos \frac{5\pi}{3}+i\sin \frac{5\pi}{3}}\) stąd (wzór de Moivre'a)
\(\displaystyle{ (\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i)^{30}=(\cos \frac{5\pi}{3}+i\sin \frac{5\pi}{3})^{30}=\cos 50\pi+i\sin 50\pi=1 \\ (\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i)^{14}=(\cos \frac{5\pi}{3}+i\sin \frac{5\pi}{3})^{14}=\cos \frac{70\pi}{3}+i\sin \frac{70\pi}{3}=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i \\ \\ (\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i)^2=(\cos \frac{5\pi}{3}+i\sin \frac{5\pi}{3})^2=\cos \frac{10\pi}{3}+i\sin \frac{10\pi}{3}=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i \\ \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i=\cos\frac{\pi}{3}+i\sin \frac{\pi}{3} \\ (\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i)^{30}=(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin \frac{\pi}{3})^{30}=\cos 10\pi + i\sin 10\pi=1 \\ (\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i)^{14}=(\cos \frac{\pi}{3}+i\sin \frac{\pi}{3})^{14}=\cos \frac{14\pi}{3}+i\sin \frac{14\pi}{3}=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i \\ (\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i)^{2}=(\cos \frac{\pi}{3}+i\sin \frac{\pi}{3})^2=\cos \frac{2\pi}{3}+i\sin \frac{2\pi}{3}=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i}\)
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} 1+3+2=a-b+c\\ \left(\frac{1-\sqrt{3}i}{2}\right)^{30}+\left(\frac{1-\sqrt{3}i}{2}\right)^{14}+2=a\left(\frac{1-\sqrt{3}i}{2}\right)^{2}+b\left(\frac{1-\sqrt{3}i}{2}\right)+c\\ \left(\frac{1+\sqrt{3}i}{2}\right)^{30}+\left(\frac{1+\sqrt{3}i}{2}\right)^{14}+2=a\left(\frac{1+\sqrt{3}i}{2}\right)^{2}+b\left(\frac{1+\sqrt{3}i}{2}\right)+c \end{array} \Leftrightarrow}\)
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}6=a-b+c\\ 1-\frac{3}{2}-\frac{3\sqrt{3}}{2}i+2=a(-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i)+b(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i)+c\\ 1-\frac{3}{2}+\frac{3\sqrt{3}}{2}i+2=a(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i)+b(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i)+c \end{array} \Leftrightarrow}\)
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}6=a-b+c\\ \frac{3}{2}-\frac{3\sqrt{3}}{2}i=-\frac{1}{2}a-\frac{\sqrt{3}}{2}ai+\frac{1}{2}b-\frac{\sqrt{3}}{2}bi+c\\ \frac{3}{2}+\frac{3\sqrt{3}}{2}i=-\frac{1}{2}a+\frac{\sqrt{3}}{2}ai+\frac{1}{2}b+\frac{\sqrt{3}}{2}bi+c \end{array} \Leftrightarrow}\)
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} a-b+c=6\\3=-a+b+2c\\ \frac{3}{2}+\frac{3\sqrt{3}}{2}i=-\frac{1}{2}a+\frac{\sqrt{3}}{2}ai+\frac{1}{2}b+\frac{\sqrt{3}}{2}bi+c \end{array} \Leftrightarrow}\)
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} c=3\\-a+b+2c=3\\ \frac{3}{2}+\frac{3\sqrt{3}}{2}i=-\frac{1}{2}a+\frac{\sqrt{3}}{2}ai+\frac{1}{2}b+\frac{\sqrt{3}}{2}bi+c \end{array} \end{array} \Leftrightarrow}\)
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}c=3\\b=a-3\\ \frac{3}{2}+\frac{3\sqrt{3}}{2}i=-\frac{1}{2}a+\frac{\sqrt{3}}{2}ai+\frac{1}{2}a-\frac{3}{2}+(\frac{\sqrt{3}}{2}a-\frac{3\sqrt{3}}{2})i+3 \end{array} \Leftrightarrow}\)
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}c=3\\b=a-3\\\frac{3\sqrt{3}}{2}i=\frac{\sqrt{3}}{2}ai+\frac{\sqrt{3}}{2}ai-\frac{3\sqrt{3}}{2}i \end{array} \Leftrightarrow}\)
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}a=3\\b=0\\c=3 \end{array}}\)
Drugie
\(\displaystyle{ x^5+x-2=W(x)(x-1-2i)(x-1+2i)+ax+b}\)
\(\displaystyle{ (1+2i)^5=1+10i+10(2i)^2+10(2i)^3+5(2i)^4+(2i)^5=1+10i-40-80i+80+32i=41-38i}\)
\(\displaystyle{ (1-2i)^5=(1+(-2i))^5=1+5(-2i)+10(-2i)^2+10(-2i)^3+5(-2i)^4+(-2i)^5=1-10i-40+80i+80-32i=41+38i}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} 41-38i+1+2i-2=a+2ai+b\\41+38i+1-2i-2=a-2ai+b\end{cases} \Leftrightarrow}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} 80=2a+2b\\40+36i=a-2ai+b\end{cases} \Leftrightarrow}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases}b=40-a\\40+36i=a-2ai+40-a \end{cases} \Leftrightarrow}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases}a=-18\\b=58 \end{cases}{}\)
Miejscami dodałem stronami odpowiednie równania układu (w obu przykładach)*
\(\displaystyle{ x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)=(x+1)\left(x-\frac{1-\sqrt{3}i}{2}\right)\left(x-\frac{x+\sqrt{3}i}{2}\right)}\) stąd
\(\displaystyle{ x^{30} + 3 x^{14} +2 = W(x) \cdot (x+1)\left(x-\frac{1-\sqrt{3}i}{2}\right)\left(x-\frac{1+\sqrt{3}i}{2}\right) + ax^2 + bx + c}\)
Zamieniając na postać trygonometryczną mamy:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i=\cos \frac{5\pi}{3}+i\sin \frac{5\pi}{3}}\) stąd (wzór de Moivre'a)
\(\displaystyle{ (\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i)^{30}=(\cos \frac{5\pi}{3}+i\sin \frac{5\pi}{3})^{30}=\cos 50\pi+i\sin 50\pi=1 \\ (\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i)^{14}=(\cos \frac{5\pi}{3}+i\sin \frac{5\pi}{3})^{14}=\cos \frac{70\pi}{3}+i\sin \frac{70\pi}{3}=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i \\ \\ (\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i)^2=(\cos \frac{5\pi}{3}+i\sin \frac{5\pi}{3})^2=\cos \frac{10\pi}{3}+i\sin \frac{10\pi}{3}=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i \\ \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i=\cos\frac{\pi}{3}+i\sin \frac{\pi}{3} \\ (\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i)^{30}=(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin \frac{\pi}{3})^{30}=\cos 10\pi + i\sin 10\pi=1 \\ (\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i)^{14}=(\cos \frac{\pi}{3}+i\sin \frac{\pi}{3})^{14}=\cos \frac{14\pi}{3}+i\sin \frac{14\pi}{3}=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i \\ (\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i)^{2}=(\cos \frac{\pi}{3}+i\sin \frac{\pi}{3})^2=\cos \frac{2\pi}{3}+i\sin \frac{2\pi}{3}=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i}\)
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} 1+3+2=a-b+c\\ \left(\frac{1-\sqrt{3}i}{2}\right)^{30}+\left(\frac{1-\sqrt{3}i}{2}\right)^{14}+2=a\left(\frac{1-\sqrt{3}i}{2}\right)^{2}+b\left(\frac{1-\sqrt{3}i}{2}\right)+c\\ \left(\frac{1+\sqrt{3}i}{2}\right)^{30}+\left(\frac{1+\sqrt{3}i}{2}\right)^{14}+2=a\left(\frac{1+\sqrt{3}i}{2}\right)^{2}+b\left(\frac{1+\sqrt{3}i}{2}\right)+c \end{array} \Leftrightarrow}\)
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}6=a-b+c\\ 1-\frac{3}{2}-\frac{3\sqrt{3}}{2}i+2=a(-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i)+b(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i)+c\\ 1-\frac{3}{2}+\frac{3\sqrt{3}}{2}i+2=a(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i)+b(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i)+c \end{array} \Leftrightarrow}\)
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}6=a-b+c\\ \frac{3}{2}-\frac{3\sqrt{3}}{2}i=-\frac{1}{2}a-\frac{\sqrt{3}}{2}ai+\frac{1}{2}b-\frac{\sqrt{3}}{2}bi+c\\ \frac{3}{2}+\frac{3\sqrt{3}}{2}i=-\frac{1}{2}a+\frac{\sqrt{3}}{2}ai+\frac{1}{2}b+\frac{\sqrt{3}}{2}bi+c \end{array} \Leftrightarrow}\)
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} a-b+c=6\\3=-a+b+2c\\ \frac{3}{2}+\frac{3\sqrt{3}}{2}i=-\frac{1}{2}a+\frac{\sqrt{3}}{2}ai+\frac{1}{2}b+\frac{\sqrt{3}}{2}bi+c \end{array} \Leftrightarrow}\)
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} c=3\\-a+b+2c=3\\ \frac{3}{2}+\frac{3\sqrt{3}}{2}i=-\frac{1}{2}a+\frac{\sqrt{3}}{2}ai+\frac{1}{2}b+\frac{\sqrt{3}}{2}bi+c \end{array} \end{array} \Leftrightarrow}\)
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}c=3\\b=a-3\\ \frac{3}{2}+\frac{3\sqrt{3}}{2}i=-\frac{1}{2}a+\frac{\sqrt{3}}{2}ai+\frac{1}{2}a-\frac{3}{2}+(\frac{\sqrt{3}}{2}a-\frac{3\sqrt{3}}{2})i+3 \end{array} \Leftrightarrow}\)
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}c=3\\b=a-3\\\frac{3\sqrt{3}}{2}i=\frac{\sqrt{3}}{2}ai+\frac{\sqrt{3}}{2}ai-\frac{3\sqrt{3}}{2}i \end{array} \Leftrightarrow}\)
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}a=3\\b=0\\c=3 \end{array}}\)
Drugie
\(\displaystyle{ x^5+x-2=W(x)(x-1-2i)(x-1+2i)+ax+b}\)
\(\displaystyle{ (1+2i)^5=1+10i+10(2i)^2+10(2i)^3+5(2i)^4+(2i)^5=1+10i-40-80i+80+32i=41-38i}\)
\(\displaystyle{ (1-2i)^5=(1+(-2i))^5=1+5(-2i)+10(-2i)^2+10(-2i)^3+5(-2i)^4+(-2i)^5=1-10i-40+80i+80-32i=41+38i}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} 41-38i+1+2i-2=a+2ai+b\\41+38i+1-2i-2=a-2ai+b\end{cases} \Leftrightarrow}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} 80=2a+2b\\40+36i=a-2ai+b\end{cases} \Leftrightarrow}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases}b=40-a\\40+36i=a-2ai+40-a \end{cases} \Leftrightarrow}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases}a=-18\\b=58 \end{cases}{}\)
Miejscami dodałem stronami odpowiednie równania układu (w obu przykładach)*
- Vax
- Użytkownik
- Posty: 2913
- Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 612 razy
Reszta z dzielenia wielomianów
1) Niech \(\displaystyle{ R(x) = ax^2+bx+c}\), widzimy, że pierwiastkami \(\displaystyle{ P(x) = x^3+1}\) są liczby \(\displaystyle{ x_0 = -\omega^0, x_1 = -\omega, x_2 = -\omega^2}\) gdzie \(\displaystyle{ \omega=e^{\frac{2i\pi}{3}}}\), w szczególności ma zachodzić \(\displaystyle{ W(-\omega) = \omega^{30}+3\omega^{14}+2 = 3\omega^{2}+3 = a\omega^2-b\omega+c}\)
Stąd zgadujemy, że \(\displaystyle{ a=3 \wedge b=0 \wedge c=3}\) i bezpośrednio wstawiając \(\displaystyle{ x=-\omega^0 \wedge x=-\omega^2}\) sprawdzamy, że rzeczywiście \(\displaystyle{ R(x) = 3x^2+3}\)
Stąd zgadujemy, że \(\displaystyle{ a=3 \wedge b=0 \wedge c=3}\) i bezpośrednio wstawiając \(\displaystyle{ x=-\omega^0 \wedge x=-\omega^2}\) sprawdzamy, że rzeczywiście \(\displaystyle{ R(x) = 3x^2+3}\)