Cześć!
Jaka jest metoda, żeby obliczyć pierwiastki wielomianu:\(\displaystyle{ -x^{3}+6x^{2}-12x-8=0}\)
pierwiastki wielomianu 3 stopnia
-
Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6909
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
pierwiastki wielomianu 3 stopnia
Tja Hornerem możesz obliczyć wartość wielomianu,podzielić przez dwumian
a gdyby się ktoś uparł to także może spróbować policzyć pochodną
wielomianu , i wartość pochodnej wielomianu
Aby dzielić musisz mieć pierwiastek (zgadnąć lub miec podany )
Możesz sprawdzać kandydatów na pierwiastki wymierne (wartość wielomianu )
ale wtedy korzystasz z twierdzenia o pierwiastrkach wymiernych a Hornerem tylko
sprawdzasz czy pasują
Pochodną możesz policzyć np korzystając z postaci iloczynowej
Jeżeli masz wszystkie pierwiastki (zespolone także)
to dzielisz wielomian przez każdy z dwumianów \(\displaystyle{ \left( x-x_{k}\right)}\)
a następnie dodajesz wielomiany otrzymane po podzieleniu
Na równanie trzeciego i czwartego stopnia
są jeszcze niezawodne metody
Podstawiasz
\(\displaystyle{ x=y- \frac{a_{2}}{3a_{3}}}\)
dostajesz
\(\displaystyle{ y^{3}+py+q=0}\)
Podstawiasz
\(\displaystyle{ y=u+v}\)
Po tym podstawieniu dostaniesz równanie które
możesz przekształcić w układ równań przypominający wzory Vieta dla trójmianu kwadratowego
Jeżeli chcesz stosować tę metodę to bez zespolonych się nie obejdzie
bo nie będziesz powiążesz pierwiastka z funkcjami trygonometrycznymi które mogą się pojawić
Pomysł po drobnych modyfikacjach działa także dla równań czwartego stopnia
a gdyby się ktoś uparł to także może spróbować policzyć pochodną
wielomianu , i wartość pochodnej wielomianu
Aby dzielić musisz mieć pierwiastek (zgadnąć lub miec podany )
Możesz sprawdzać kandydatów na pierwiastki wymierne (wartość wielomianu )
ale wtedy korzystasz z twierdzenia o pierwiastrkach wymiernych a Hornerem tylko
sprawdzasz czy pasują
Pochodną możesz policzyć np korzystając z postaci iloczynowej
Jeżeli masz wszystkie pierwiastki (zespolone także)
to dzielisz wielomian przez każdy z dwumianów \(\displaystyle{ \left( x-x_{k}\right)}\)
a następnie dodajesz wielomiany otrzymane po podzieleniu
Na równanie trzeciego i czwartego stopnia
są jeszcze niezawodne metody
Podstawiasz
\(\displaystyle{ x=y- \frac{a_{2}}{3a_{3}}}\)
dostajesz
\(\displaystyle{ y^{3}+py+q=0}\)
Podstawiasz
\(\displaystyle{ y=u+v}\)
Po tym podstawieniu dostaniesz równanie które
możesz przekształcić w układ równań przypominający wzory Vieta dla trójmianu kwadratowego
Jeżeli chcesz stosować tę metodę to bez zespolonych się nie obejdzie
bo nie będziesz powiążesz pierwiastka z funkcjami trygonometrycznymi które mogą się pojawić
Pomysł po drobnych modyfikacjach działa także dla równań czwartego stopnia