delta w wielomianie 3 stopnia

[major37]

\(\displaystyle{ f(x)=ax ^{3}+bx ^{2}+cx+d}\) gdzie \(\displaystyle{ a \neq 0}\) Czy to prawda \(\displaystyle{ \Delta=b ^{2}-3ac, x _{1}= \frac{-b- \sqrt{ \Delta} }{3a} , x _{2}= \frac{-b+ \sqrt{ \Delta} }{3a}}\) ? Można tego używać do znalezienia pierwiastków ?

[piasek101]

Nie.

[major37]

Dzięks

[math questions]

poczytaj o wzory \(\displaystyle{ Cardano}\)

[Mariusz M]

Wzorkami które podałeś obliczasz miejsca zerowe pochodnej

Jeżeli chcesz zbadać monotoniczność i ekstrema to używasz tych wzorków

Juz mu napisalem co musi znac aby zabrac sie za wzory na pierwiastki wielomianu trzeciego stopnia
Bez zespolonych nie powiaze pierwiastkow z fukcjami trygonometrycznymi w casus irreducibilis

Uzywasz podstawien

\(\displaystyle{ x=y- \frac{b}{3a}}\)

oraz

\(\displaystyle{ y=u+v}\)

a nastepnie przeksztalcasz otrzymane rownanie w uklad równań
przypominający wzory Viete dla równania kwadratowego


Jeżeli chodzi o wyróżnik to

\(\displaystyle{ \Delta=- \left( x_{1}-x_{2}\right)^2\left( x_{1}-x_{3}\right)^2\left( x_{2}-x_{3}\right)^{2}}\)

Jest on funkcją symetryczną pierwiastków równania więc może być wyrażony za pomocą
funkcji symetrycznych podstawowych a co za tym idzie za pomocą współczynników wielomianu
(po wyrażeniu za pomocą funkcji symetrycznych podstawowych wystarczy skorzystać ze wzorów Viete)

[major37]

Właśnie tymi wzorami musiałem zbadać monotoniczność funkcji A jak policzyć tymi ekstrema ?

[Mariusz M]

Miejsce zerowe pochodnej - warunek konieczny
Zmiana znaku pochodnej w otoczeniu miejsca zerowego - warunek wystarczający
- 0 + minimum
+ 0 - maximum

[major37]

\(\displaystyle{ f(x)=x ^{3}-6x ^{2}+9x+1}\)
\(\displaystyle{ f'(x)=3x ^{2}-12x+9=3(x-1)(x-3)}\)

Czyli minium to -3 a maksimum 1 ?

[piasek101]

\(\displaystyle{ f(x)=x ^{3}-6x ^{2}+9x+1}\)
\(\displaystyle{ f'(x)=3x ^{2}-12x+9=(x-1)(x-3)}\) (*)
Czyli minium to -3 a maksimum 1 ?(**)

(*) \(\displaystyle{ =3(x-1)(x-3)}\)

(**) Minimum jest dla \(\displaystyle{ x=3}\), a maksimum dla \(\displaystyle{ x=1}\) - po sprawdzeniu (co w zasadzie widać od razu) jak zmienia się znak pochodnej (3 i 1 to nie jest ani minimum ani maksimum).